Una Pregunta Interesante sobre Ternas Pitagóricas

Question

Recientemente he pensado en una pregunta interesante acerca de Ternas Pitagóricas.

Considere la posibilidad de un ángulo recto del trapecio formado por 3 de ángulo recto del triángulo. Determinar qué existen soluciones integrales para longitudes de los lados $AB, BC, CD, DE, EA, AC$$CE$.

He aquí mis ideas.

Sé que el Triple de Pitágoras puede ser generado por la sustitución de entero en $x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2.$ Así que vamos a $AB=m^2-n^2$, $BC=2mn$, $CD=2pq$, $DE=p^2-q^2$, $AC=m^2+n^2=u^2-v^2$, $CE=p^2+q^2=2uv$ y $ AE=u^2+v^2.$ A responder a la pregunta, tengo que mostrar que si $m^2+n^2=u^2-v^2$ $p^2+q^2=2uv$ tiene solución integral(*). Pero no sé cómo mostrar este.

¿Alguien puede decirme si estoy en lo correcto acerca de (*)? Si estoy en lo correcto, cómo mostrar? Si estoy equivocado, ¿cómo resolver la pregunta?

Gracias.

Lo siento, soy una mala pregunta-tagger.

Answer 1

Tenga en cuenta que los triángulos ABC y CDE debe ser similar si BCD es ser una línea recta, por lo tanto debe ser construido a partir de múltiplos enteros de la misma terna pitagórica primitiva T= {a,b,c} con hipotenusa c.

Supongamos que ABC es $pT$ y el CDE es$qT$$AC=pc$$CE=qc$$AE^2=p^2c^2+q^2c^2$, de modo que $AE$ es divisible por $c$ y es igual a $rc$.

Usted puede construir su trapecio de cualquier par de ternas pitagóricas (no necesariamente primitivo)

T={$a,b,c$} y U= {$p,q,r$}

con ABC = {$pa,pb,pc$}, CDE = {$qb,qa,qc$}, AS = {$pc,qc,rc$}.

Y esta es básicamente la única manera de hacerlo.

Answer 2

Usted tiene un montón de soluciones, acaba de tomar cualquier triples (por ejemplo 3,4,5).

Luego se multiplica por la cantidad correcta, basado en otro triple (por ejemplo 3,4,5).

BC=9, AB=12, AC=15 DE=12, CD=16, CD=20

Entonces AE = 25

Así que para cualquier ternas pitagóricas (a,b,c), (d,e,f), g), h), i), una solución es (agf,bgf,cgf) (dhc,ehc,fhc) y, a continuación, (icf) para la última de longitud.

Por supuesto, usted puede dividir la solución obtenida por el mcd de todos los tamaños...