Desde $A$ $B$ están cerrados subespacios del espacio de Banach $X$, ellos mismos son espacios de Banach, y por lo tanto también lo es $A\times B$, dotado de la norma $\lVert (a,b)\rVert = \lVert a\rVert_X + \lVert b\rVert_X$. Ahora, considere el mapa
$$T \colon A\times B \to X; \quad T(a,b) = a+b.$$
Tenemos $\lVert T(a,b)\rVert_X \leqslant \lVert (a,b)\rVert$, lo $T$ es continua.
La condición
$$\delta := \inf \{ \lVert x-y\rVert : x\in A, y\in B, \lVert x\rVert_X = \lVert y\rVert_X = 1\} > 0$$
asegura primero que $T$ es inyectiva (equivalentemente,$A\cap B = \{0\}$) y, a continuación, que $T$ es una incrustación, es decir,
$$\inf \{ \lVert T(a,b)\rVert_X : \lVert (a,b)\rVert = 1\} \geqslant \eta := \frac{\min \{1,\delta\}}{4}\tag{1}$$
es fácil de demostrar: Supongamos que en el siguiente siempre $\lVert (a,b)\rVert = 1$.
Si $\bigl\lvert\lVert a \rVert_X - \lVert b\rVert_X\bigr\rvert \geqslant \eta$, el triángulo de la desigualdad de los rendimientos de $\lVert T(a,b)\rVert_X = \lVert a+b\rVert_X \geqslant \bigl\lvert \lVert a\rVert_X - \lVert b\rVert_X\bigr\rvert \geqslant\eta$ inmediatamente.
Si $\bigl\lvert\lVert a \rVert_X - \lVert b\rVert_X\bigr\rvert < \eta$, luego, en particular,$a \neq 0 \neq b$, y
$$\begin{align}
\lVert T(a,b)\rVert_X &= \lVert a+b\rVert_X\\
&= \left\lVert \left(a - \frac{a}{2\lVert a\rVert_X}\right) + \left(\frac{a}{2\lVert a\rVert_X} + \frac{b}{2\lVert b\rVert_X}\right) + \left(b - \frac{b}{2\lVert b\rVert_X}\right)\right\rVert_X\\
&\geqslant \left\lVert\frac{a}{2\lVert a\rVert_X} + \frac{b}{2\lVert b\rVert_X}\right\rVert_X - \left\lvert 1 - \frac{1}{2\lVert a\rVert_X} \right\rvert\lVert a\rVert_X - \left\lvert 1 - \frac{1}{2\lVert b\rVert_X} \right\rvert\lVert b\rVert_X\\
&\geqslant \frac{\delta}{2} - \left\lvert\lVert a\rVert_X - \frac{1}{2} \right\rvert - \left\lvert\lVert b\rVert_X - \frac{1}{2} \right\rvert\\
&= \frac{\delta}{2} - \bigl\lvert \lVert a\rVert_X - \lVert b\rVert_X\bigr\rvert\\
&> \frac{\delta}{2} - \eta\\
&\geqslant \frac{\delta}{4}\\
&\geqslant \eta,
\end{align}$$
donde la igualdad
$$\left\lvert\lVert a\rVert_X - \frac{1}{2} \right\rvert + \left\lvert\lVert b\rVert_X - \frac{1}{2} \right\rvert = \bigl\lvert \lVert a\rVert_X - \lVert b\rVert_X\bigr\rvert$$
sigue de $\lVert a\rVert_X + \lVert b\rVert_X = 1$, de donde $\lVert a\rVert_X - \frac{1}{2}$ $\lVert b\rVert_X - \frac{1}{2}$ tienen la misma magnitud y de signo opuesto.
Habiendo establecido que la $T$ es una incrustación, se deduce que el $A + B = \mathcal{R}(T)$ es completa, y por lo tanto cerrado.
Demostrar la desigualdad de $(1)$ o en una similar de la desigualdad que los límites $\lVert a\rVert_X$ (e $\lVert b\rVert_X$) en términos de $\lVert a+b\rVert_X$, es el paso crucial también en otros enfoques para la prueba.
