Los denominadores de las fracciones que se mantienen constantes. El total de la multiplicación a través de los denominadores es todas las formas de seleccionar 12 personas de 80, donde el orden se conserva:
$ De$ 80\cdot 79\cdot 78\cdot 77\cdot 76\cdot 75\cdot 74\cdot 73\cdot 72\cdot 71\cdot 70\cdot 69 = \frac{80!}{68!}
$$
Podemos decir que el orden no es importante, por lo $\frac{80!}{68!\,12!} = {80 \choose 12}$ opciones
Entonces los numeradores son la combinación de las opciones de los angry $(k)$ y no enojado $(12-k)$,${7 \choose k}$${73 \choose 12-k}$, por lo que en general la probabilidad es $$\frac{{7 \choose k}{73 \choose 12-k}}{80 \choose 12}$$
y la comprobación de que este en contra de su resultado para $k=1$ hemos
$$\frac{{7 \elegir 1}{73 \elegir 11}}{80 \elegir 12} = \frac{68!\,12!}{80!}\frac{7!}{1!\,6!}\frac{73!}{ 62!\,11!} = \frac{12\cdot 7\cdot 68\cdot 67\cdot 66\cdot 65\cdot 64\cdot 63}{80\cdot 79\cdot 78\cdot 77\cdot 76\cdot 75\cdot 74} \approx 0.413458415
$$
El más fácil de los posibles cálculos es donde ninguno de los empleados seleccionados están enojados $(k=0)$, que es
$$\frac{{7 \choose 0}{73 \choose 12}}{80 \choose 12} = \frac{68!\,12!}{80!}\cdot 1 \cdot\frac{73!}{ 61!\,12!} = \frac{68\cdot 67\cdot 66\cdot 65\cdot 64\cdot 63\cdot 62}{80\cdot 79\cdot 78\cdot 77\cdot 76\cdot 75\cdot 74} \approx 0.305171687$$
A continuación, el resto de los casos puede ser trabajado de manera similar.
Hable acerca de cómo obtener un negativo factorial a la hora de encontrar la combinación de cómo elegir a $2$ escaños $12$, pero eso es sólo lo ${12 \choose 2}= \frac {12!}{10!\,2!} = \frac{12\cdot 11}{2} = 66$ así que no sé cómo llegó a una negativa factorial.
