Simpléctica forma en un complejo colector de

Question

Estoy un poco confusa y estoy esperando que me pueden obtener algunas aclaraciones acerca de las formas en un complejo colector. Ya sólo me interesan los problemas locales, considere la posibilidad de $M = \mathbb C^n$ como un complejo colector. Así que tengo complejo de coordenadas $z_1,\ldots,z_n$ y las correspondientes coordenadas reales $x_1, y_1,\ldots, x_n, y_n$$z_j = x_j + i y_j$. Ahora tengo un canónica de estructura compleja $J$$M$$J \partial_{x_j} = \partial_{y_j}, J \partial_{y_j} = -\partial_{x_j}$. Entonces tengo un isomorfismo de los complejos paquetes entre el $TM$ y el holomorphic tangente bundle $T_{(1,0)} M = span_{\mathbb C} \{\partial_{z_j}\}$. Este isomorfismo es dada por $$ (a+ib) \partial_{z_j} \mapsto\partial_{x_j} + b\partial_{y_j}. $$ Ahora vamos a $\omega = \sum_i dx_i \wedge dy_i$ ser el estándar de la forma simpléctica en $M$. Lo que hace esta corresponder en virtud de lo anterior isomorfismo. A primera vista es $$ \tilde \omega = \frac{i}{2}\sum_j dz_j \wedge d\bar z_j $$ donde $dz_j = dx_j + i dy_j, d\bar{z_j} = dx_j - i dy_j$. En la segunda vista, esto puede no ser correcta, ya que esto es igual a cero en el holomorphic tangente paquete. En la tercera vista, todo parece funcionar si pienso en $$ d\bar{z_j}(c\partial_{z_j}) = \bar c. $$ Pero esto es inquietante para mí. Es esta la manera correcta de pensar acerca de ello? Puedo conseguir en cualquier tribulación, por pensar de esta manera?

El problema parece ser que las diferencias de las coordenadas reales darle doble vectores, pero la covectors $dz_j$, $d\bar z_j$ son inherentemente complejos (su cobertura real no es el verdadero doble a $T_{(1,0)} M$ menos que yo interpreto $d\bar z_j$ como se mencionó anteriormente).

Yo creo que lo que se hace generalmente es $\tilde\omega$ es considerada una forma de $TM \otimes \mathbb C$ y es una verdadera forma simpléctica en $$ \mathbb Rspan\{\partial_{x_j}, \partial_{z_j}\} = \mathbb Rspan\{\partial_{z_j} + \partial_{\bar z_j}, i(\partial_{z_j} - \partial_{\bar z_j})\} $$ pero prefiero no complejizar si no tengo (ya que soy de que se trate con la geometría simpléctica y por lo tanto el gran paquete, pero me gustaría que la conveniencia de la compleja notación).

Answer 1

Su paquete de isomorfismo no es la tangente del mapa de un diffeomorphism de la base. Esto hace que todas las construcciones salir mal. La forma simpléctica en virtud de esta identificación es $$ \sum e_i \wedge f_i,$$ where $e_i( c \partial_z ) = c$ and $f_i( c \partial_z ) = \bar c$. If you understand $d \barra z$ as actually $\overline {dz}$, entonces su fórmula está bien.

Creo que es un poco más fácil de llevar a la identificación del espacio de la tangente $\mathbb R^{2}$$\mathbb C$$(a+ib)\partial_x \mapsto a \partial_x + b \partial_y$. (es decir, el uso de $\partial_x$ en lugar de $\partial_z$)

La otra opción, como usted sugiere, es tomar la complexified el espacio de la tangente, y trabajar allí. Creo que esta última es la más conveniente para los cálculos... solo que usted necesita estar seguro de que sólo trabaja con objetos reales. Esto no es una gran cosa, y de la omi, es un limpiador de manera de hacer los cálculos.

Answer 2

La primera vista de la observación es correcta (de alguna manera, tal vez no el pedido aquí) - el estándar de la forma simpléctica$$\omega=\sum dx^i\wedge dy^i$$can indeed be written as $$\omega=\frac{\sqrt{-1}}{2}\sum dz^id\overline{z}^i.$$Estos son sólo dos formas de representar la misma forma, el uso de diferentes marcos de la complexified la cotangente del paquete.

Sin embargo, el (real!!) bilineal forma en la holomorphic tangente paquete inducida por $\omega$ es algo más. Deje $u=u^i\partial_{z^i},v=v^i\partial_{z^i},$ dos holomorphic tangente vectores. Bajo el especificado (real!) isomorfismo de los dos grupos, $u$ $v$ se asignan a$$u_\mathbb{R}=\mathrm{Re }u^i\partial_{x^i}+\mathrm{Im}u^i\partial_{y^i},\quad v_\mathbb{R}=\mathrm{Re}v^i\partial_{x^i}+\mathrm{Im}v^i\partial_{y^i}.$$Evaluating $\omega$ on these two vectors,$$\omega(u_\mathbb{R},v_\mathbb{R})=\sum\mathrm{Re}u^i\mathrm{Im}v^i-\mathrm{Im}u^i\mathrm{Re}v^i=\mathrm{Im}\sum\overline{u^i}v^i.$$Hence, the desired form is given by$$\omega_\mathbb{C}(u,v)=\mathrm{Im}\sum\overline{u^i}v^i.$$una Vez más: Este formulario no es complejo-bilineal, sólo real bilineal (ya que se origina a partir de un formulario en un gran paquete).