Encontrar el valor de $x^3-x^{-3}$ que $x^2+x^{-2} = 83$

Question

Si $x>1$$x^2+\dfrac {1}{x^2}=83$, hallar el valor de la expresión$$x^3-\dfrac {1}{x^3}$$

a) $764$

b) $750$

c) $756$

d) $760$

En esta pregunta dado que he intentado aproximar el valor de $x$ que debería justo por encima de 9, a continuación, traté de calcular el valor de la cúbico de expresión sino de todas las opciones están lo suficientemente cerca como para adivinar. Alguna idea para solucionarlo?

Answer 1

En primer lugar, observe que

$$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}=83-2=81$$

A continuación, utilice la diferencia de dos cubos fórmula:

$$x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+1+\frac{1}{x^2}\right)=9\cdot(83+1)=756$$

Tomamos el positivo de la raíz de $81$ porque $x>1$.