Encontrar derivado de la $\sqrt{9-x}$

Question

Estoy tratando de encontrar la derivada de $\sqrt{9-x}$ utilizando la definición de un derivado

$$\lim_{h\to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h} $$

$$\lim_{h\to 0} \frac {\sqrt{9-(a+h)}-\sqrt{9-a}}{h} $$

Así que para simplificar se me multiplica por el conjugado

$$\lim_{h\to0} \frac {\sqrt{9-(a+h)}-\sqrt{9-a}}{h}\cdot \frac{ \sqrt{9-(a+h)}+ \sqrt{9-a}}{\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a}}$$

lo que me da

$$\frac {-2a-h}{h(\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a})}$$

No tengo idea de qué hacer a partir de aquí, obviamente me puede conseguir fácilmente el derivado de la utilización de otros métodos pero con este no tengo idea de cómo proceder.

Answer 1

Usted cometió un error al hacer la multiplicación de arriba:

Cuando se multiplica $$ \Bigl( \color{color granate}{\sqrt{9-(a+h)} }- \color{verde oscuro de}{\sqrt {9-a}}\ \Bigr)\Bigl(\color{color granate}{\sqrt{9-(a+h)} }+\color{verde oscuro de}{ \sqrt {9-a}}\ \Bigr), $$ usted está utilizando la regla $$ (\color{color granate}-\color{verde oscuro}b)(\color{color granate}+\color{verde oscuro}b) =\color{color granate}a^2-\color{verde oscuro}b^2 $$ Para obtener $$ \Bigl(\color{color granate}{\sqrt{9-(a+h)}}\ \Bigr)^2 - \Bigl(\color{verde oscuro de}{\sqrt {9-a}}\ \Bigr)^2= \bigl(9-(a+h)\bigr) - (9-a) = \color{color verde azulado}9\color{color púrpura}{-a} h\color{color verde azulado}{-9}+\color{color púrpura} a= -h. $$

Entonces, para encontrar su derivada, usted tiene que calcular $$\eqalign{ f'(a)= \lim_{h\rightarrow 0} { -h\sobre h\bigl( \sqrt{9-(a-h) }+\sqrt{9-a}\ \bigr ) } &=\lim_{h\rightarrow 0} { -1\\sqrt{9-(a-h) }+\sqrt{9-a} }\cr Y= { -1\\sqrt{9-(a-0) }+\sqrt{9-a} }\cr Y= { -1\\sqrt{9-a }+\sqrt{9-a} }\cr Y= { -1\más de 2\sqrt{9-a} }. } $$

Answer 2

Todo lo que has hecho es correcto, excepto para el último paso.

$$\begin{align} &\lim_{h\to0} \frac {\sqrt{9-(a+h)}-\sqrt{9-a}}{h}\cdot \frac{ \sqrt{9-(a+h)}+ \sqrt{9-a}}{\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a}}=\\ &\lim_{h\to0} \frac{9-(a+h)-(9-a)}{h(\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a})}=\\ &\lim_{h\to0} \frac{9-a-h-9+a}{h(\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a})}=\\ &\lim_{h\to0} \frac{h}{h(\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a})}=\\ &\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a}} \end{align}$$

El límite es entonces fácil de evaluar.

Answer 3

Como otras respuestas así decir, se ha producido un error mientras multiplicating. Y también se le olvidó poner el límite en su última ecuación. \begin{align} f'(x)&=\lim\limits_{h\to0}\left(-\frac{h}{h(\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a})}\right)\\ &=\lim\limits_{h\to0}\left(-\frac{1}{\sqrt{9-(a+h)}+\sqrt{9-a}}\right)\\ &=-\frac{1}{\sqrt{9-x}+\sqrt{9-x}}\\ &=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}} \end{align} Pero esto se puede hacer mucho más fácilmente de esta manera:

\begin{align} f(x)&=\sqrt{9-x}\\ &=(9-x)^{1/2}\\ f'(x)&=-\frac{1}{2}(9-x)^{-1/2}\\ &=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}} \end{align}