$p(x)\geq 0 \forall x\Rightarrow p(x)+p'(x)+p''(x)+...+p^{(n)}(x)\geq 0$

Question

$p(x)\geq 0 \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow p(x)+p'(x)+p''(x)+...+p^{(n)}(x)\geq 0$, donde p(x) es un polinomio de grado n.

Me mostró:

$a_{n}+...+a_{0}\geq 0$,

$p(x)+p'(x)+p''(x)+...+p^{(n)}(x)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=m}^{n}a_{k}\frac{n!}{(n-k)!}p(x)^{(k-m)}=\sum_{k=0}^{n}\sum_{m=0}^{k}a_{k}\frac{n!}{(n-k)!}p(x)^{(k-m)}$

Answer 1

Si $n$ es impar, a continuación, $p(x)$ se convierte en negativo como $x\to\infty$ o $x\to-\infty$. Por lo tanto podemos suponer $n$ es incluso. La función de $f(x)= p(x)+\ldots +p^{(n)}(x)$ es también un polinomio de grado $n$ y, por tanto, supone su mínimo global en algunos $a\in\mathbb R$. A continuación,$f'(a)=0$. Pero de $p^{(n+1)}(x)=0$ ver $f'(x)=f(x)-p(x)$ y, por tanto,$f(a)=p(a)\ge 0$. Como $a$ es el mínimo global, $f(x)\ge f(a)\ge 0$ todos los $x$.

Answer 2

Aviso

$$\sum_{k=0}^n p^{(k)}(x) = \sum_{k=0}^n p^{(k)}(x)\left(\int_0^\infty \frac{t^n}{n!} e^{-t}dt \right) = \int_0^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{p^{(k)}(x)}{n!}t^k\right) e^{-t}dt\\ = \int_0^\infty p(x+t) e^{-t} dt $$ Si $p(x) \ge 0$ todos los $x$, $\sum\limits_{k=0}^n p^{(k)}(x)$ es la integral sobre un no-negativo de la función y, por tanto, no es negativo en sí mismo.