Pregunta sobre el ejercicio 8.5 en Jech de la teoría de conjuntos

Question

El ejercicio que yo estoy pidiendo es el siguiente:

Para cada estacionaria $S\subset \omega_1$ y cada una de las $\alpha < \omega_1$ no es un conjunto cerrado de ordinales Una de longitud $\alpha$ tal que $A\subset S$.

El libro da este consejo: Por inducción sobre $\alpha$: $\forall \gamma$ $\exists$ cerrado $A\subset S$ de duración $\alpha$ tal que $\gamma$ < min$A$. El trivial paso: Si es verdadera para un límite de $\alpha$, encontramos un cerrado $A \subset S$ de la longitud de la $\alpha$ tal que sup$A\in S$. Vamos $A_\xi$, $\xi < \omega_1$, ser cerrada por subconjuntos de a $S$, de longitud $\alpha$, de tal manera que $\lambda_{\xi}$= sup $\cup_{\nu < \xi} A_{\nu}<$min$A_{\xi}$. No es $\xi$ tal que $\lambda_{\xi}\in S$. Deje $\xi$=lim$_n\xi_n$. Recogida inicial de los segmentos de $B_{\xi_n}\subset A_{\xi_n}$ de la longitud de la $\alpha_n$+1 de donde lim$_n\alpha_n=\alpha$. Deje $A=\cup_{n=0}^\infty B_{\xi_n}$.

Hay algunas cosas en la pista no entiendo: ¿cómo ve usted que no es $\xi$ tal que $\lambda_{\xi}\in S$. Y donde se hacen las $\xi_n$$\alpha_n$?

Alguien me puede ayudar la comprensión de la pista? O, ¿alguien tiene alguna otra forma de hacerlo?

Answer 1

Ampliando mi comentario un poco, lo que la sugerencia que dice es que se debe mostrar esta por inducción en $\alpha$. También está implícita la sugerencia de que el límite de la etapa es fácil de hacer, y la no-trivial parte es el sucesor paso después de un límite (esto es debido a que se va a exigir que el conjunto es cerrado). De hecho, la sugerencia se sugiere que usted debe ver más, es decir, que dado $\alpha$ $\beta$ arbitrarias usted puede encontrar $A\subset S$, de tal manera que $\beta<\mathrm{min}A$ $A$ es un conjunto cerrado de longitud $\alpha$.

Ahora suponga que usted tiene que existe un conjunto de ordinales $B$ que comienza arbitrariamente alta en $\omega_1$, es cerrado y de la longitud de la $\alpha$ (donde $\alpha$ es un límite). Escoge un $\beta<\omega_1$. Si te las arreglas para crear un nuevo conjunto $A$, subconjunto de $S$, que comienza por encima de $\beta$, es cerrado y de la longitud de la $\alpha$, y además tiene que $\mathrm{sup}A\in S$, $A\cup\{\mathrm{sup}A\}$ será un subconjunto cerrado de $S$ de la longitud de la $\alpha+1$ que comienza por encima de $\beta$.

Tome $A_\xi$ conjuntos de longitud $\alpha$ tal que $\beta<\mathrm{min}A_0$$\bigcup_{\nu<\xi}A_\nu<\mathrm{min}A_\xi$. Esto es algo que usted puede hacer por la hipótesis de inducción. Definir $\lambda_\xi=\bigcup_{\nu<\xi}A_\nu$. Observar que el conjunto de $\{\lambda_\xi : \xi\in\omega_1\}$ es un cerrado sin límites subconjunto de $\omega_1$, porque si $\xi$ es un ordinal límite $$\lambda_\xi=\bigcup_{\nu<\xi}A_\nu =\bigcup_{\nu<\xi}\bigcup_{\delta<\nu}A_\delta=\mathrm{lim}_{\nu<\xi}\lambda_\nu. $$ Hence $S$ intersects $\{\lambda_\xi : \xi\en\omega_1\}$ (because $S$ is stationary and stationary sets intersect closed unbounded sets), so let $\xi$ be such that $\lambda_\xi\in S$.

Ahora tome $\xi_n$ ser tal que $\mathrm{lim}\xi_n=\xi$ y deje $\alpha_n$ ser tal que $\mathrm{lim}\alpha_n=\alpha$. De selección de subconjuntos de a$B_n$$A_{\xi_n}$, de longitud $\alpha_n+1\setminus\alpha_{n-1}$ (queremos que esta $+1$ aquí para asegurarse de que la unión es cerrado si nosotros no de selección del sucesor de longitud, no seríamos capaces de garantizar que la unión de estos conjuntos sería cerrado ; de hecho, no sería cerrado por la elección de $A_{\xi_n}$). A continuación,$A=\bigcup_{n\in\omega}B_n$. Observe que la longitud de $A$ $\alpha$ y, además, por definición,$\mathrm{sup}(A)=\lambda_\xi$. Por lo tanto $A\cup\{\lambda_\xi\}$ es cerrado, de longitud $\alpha+1$, subconjunto de $S$ que comienza por encima de $\beta$.