Resolver la siguiente ecuación cuártica

Question

Resolver en $\mathbb{R}$ :

$$(x^2+2)^2+8x^2=6x (x^2+2) $$

Mi intento: Intenté hacer el gráfico calculando los valores de $x=1, 2, 3, 4$ y encontré que la función es positiva en $x=0$ pero negativo en $x=1$ por lo que el gráfico debe haber cruzado el $x$ eje, por lo que habrá una raíz entre $0$ y $1$ y de manera similar fue el caso entre $3$ y $4$ pero no he podido resolverlo con precisión. Tampoco pude encontrar sobre las otras dos raíces.

¿Cuál es la forma de resolverlo sólo con álgebra o con un trazado aproximado con la ayuda de lápiz y papel y sin usar ninguna herramienta computacional?

Answer 1

Déjalo, $$y=x^2+2$$

Ahora,

$y^2-6xy+8x^2=0$

$\implies \left(\frac{y}{x}\right)^2 -6\left(\frac{y}{x}\right)+8=0$

$\implies y = 4x$

o

$y=2x$

$\implies x^2-4x+2=0$

o

$x^2-2x+2=0$

$\implies x = 2 \pm \sqrt{2}, 1 \pm i$

Answer 2

$$(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)\Longleftrightarrow$$ $$x^4+4x^2+4+8x^2=6x(x^2+2)\Longleftrightarrow$$ $$x^4+12x^2+4=6x(x^2+2)\Longleftrightarrow$$ $$x^4+12x^2+4=6x^3+12x\Longleftrightarrow$$ $$x^4+12x^2-6x^3-12x+4=0\Longleftrightarrow$$ $$(x^2-4x+2)(x^2-2x+2)=0\Longleftrightarrow$$ $$(x^2-4x+2)=0\vee (x^2-2x+2)=0\Longleftrightarrow$$ $$x^2-4x=-2\vee x^2-2x=-2\Longleftrightarrow$$ $$x^2-4x+4=-2+4\vee x^2-2x+1=-2+1\Longleftrightarrow$$ $$(x-2)^2=2\vee (x-1)^2=-1\Longleftrightarrow$$ $$x-2=\sqrt{2}\vee x-2=-\sqrt{2}\vee -\Longleftrightarrow$$ $$x=2+\sqrt{2}\vee x=2-\sqrt{2}\vee -\Longleftrightarrow$$

" $-$ " $\rightarrow$ $(x-1)^2=-1$ no tiene soluciones reales

Así que:

$$(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)\Longleftrightarrow$$ $$x=2+\sqrt{2} \vee x=2-\sqrt{2}$$

Answer 3

Ampliando la ecuación:

$$ x^4 + 4x^2 + 4+ 8x^2 = 6x^3 + 12x$$

$$x^4 -6x^3 +12x^2-12x+4=0$$

A continuación se puede factorizar la expresión anterior

Como alternativa, puede sustituir $x^2 + 2$ con $y$ que te da:

$$ y^2 + 8x^2 = 6xy$$

$$ (y-4x)(y-2x) = 0$$

$$ y = 4x$$ o $$ y = 2x$$ Ahora reemplaza $y$ con $x^2 + 2$

$x^2 + 2 = 4x $ o $x^2 + 2 = 2x$

$$(x^2 -4x +2)(x^2-2x+2) = 0 $$

Answer 4

Dado que $$(x^2+2)^2+8x^2=6x(x^2+2)$$ Poner $x^2+2=y$ . Entonces $$y^2+8x^2=6xy$$ $$8x^2-6xy+y^2=0$$ $$8x^2-4xy-2xy+y^2=0$$ $$4x(2x-y)-y(2x-y)=0$$ $$(4x-y)(2x-y)=0$$ $$(4x-x^2-2)(2x-x^2-2)=0$$ $$(x^2-4x+2)(x^2-2x+2)=0$$ Ahora tenemos $$x^2-4x+2=0$$ Esta es la ecuación cuadrática $$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(2)}}{2(1)}$$ $$x=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$$ $$ x=2 \pm \sqrt{2}$$ Del mismo modo, tenemos la segunda ecuación $$x^2-2x+2=0$$ Fórmula cuadrática de Bu $$x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(2)}}{2(1)}$$ $$x=\frac{2 \pm \sqrt{4(-1)}}{2}$$ $$x=\frac{2 \pm 2\sqrt{-1}}{2}$$ $$x=1 \pm i$$ Como $\sqrt{-1}=i$ .

Así que todas las raíces de " $x$ " tenemos $$x=2 \pm \sqrt{2} , 1 \pm i $$

Answer 5

Una pista: Reescríbelo como:

$$(x^2+2)^2-6x(x^2+2)+8x^2=0$$

Ahora utiliza la sustitución $$y=\frac{x^2+2}{x}$$

Esto da

$$x^2y^2-6x^2y+8x^2=0$$

Por lo tanto, $$x^2=0 \vee y^2-6y+8=0$$