Regularización dimensional (integración sobre dimensiones adicionales)

Question

Intenté replicar un resultado sobre regularizaciones dimensionales en el artículo de revisión de Howard Georgi, Teoría del campo efectivo en: people.fas.harvard.edu/~hgeorgi/review.pdf.

En la página 17, escribe sobre las integrales de la forma $$I = \int \frac{d^4l}{(4\pi)^4}\frac{1}{(l^2 + A^2)^\alpha}$$ A continuación, regulariza la integral en la forma $$I = \int \frac{d^{4 + \delta}l}{\mu^\delta(4\pi)^{4+\delta}}\frac{1}{(l_\delta^2 +l^2 + A^2)^\alpha}$$ y se integra por separado sobre las dimensiones adicionales $\delta$ conseguir: $$I = \int \frac{d^4l}{(4\pi)^4} \left(\int \frac{d^{\delta}l_\delta}{(4\pi\mu)^{\delta}}\frac{1}{(l_\delta^2 +l^2 + A^2)^\alpha}\right) = \\ \int\frac{d^4l}{(2\pi)^4}\left(\frac{1}{(l^2 + A^2)^\alpha}\frac{\Gamma(\alpha - {\delta\over 2})}{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{l^2 + A^2}{4\pi\mu^2}\right)^{\delta\over 2}\right)$$

Esto parece tener mucho sentido para mí, pero cuando trato de calcular la integral sobre las dimensiones adicionales $\delta$ me encuentro con problemas. En primer lugar, la parte angular de la Integración sobre $\delta$ es $$\frac{\pi ^{\delta /2} \delta }{\Gamma \left(\frac{\delta }{2}\right)}$$ La parte radial de la integral es: $$\int \frac{d^{\delta}l_\delta}{(4\pi\mu)^{\delta}}\frac{l_\delta^{\delta-1}}{(l_\delta^2 +l^2 + A^2)^\alpha} = \frac{\Gamma \left(\frac{\delta }{2}\right) \Gamma \left(\alpha -\frac{\delta }{2}\right) \left(A^2+k^2\right)^{\frac{1}{2} (\delta -2 \alpha )}}{2 \Gamma (\alpha )}$$

Juntos lo consigo: $$\frac{\pi ^{\delta /2} \delta \Gamma \left(\alpha -\frac{\delta }{2}\right) \left(A^2+k^2\right)^{\frac{1}{2} (\delta -2 \alpha )}}{2 \Gamma (\alpha )}$$ En general, obtengo un factor extra de $\delta$ lo que hace que la integral sea cero en el límite $\delta\rightarrow 0$ . ¿Pero no debería dar cero? Puedo calcular integrales reguladas dimensionalmente de la forma habitual, integrando sobre todas las dimensiones d a la vez, reproduciendo todos los resultados conocidos. Pero fallo en la integración sobre las dimensiones extra $\delta$ .

¿Dónde está mi error? (Cómo) ¿Es posible integrar sobre la dimensión extra $\delta$ ¿Por separado?

Answer 1

La integración angular da el volumen de $S^{\delta-1}$ , por lo que hay un factor de 2 y no un factor $\delta$ en la integración angular. Explícitamente: \begin{align} \int_{\mathbb R^\delta} d^\delta\mathbf x \,f(|\mathbf x|) = \underbrace{\frac{2 \pi^{\delta/2}}{\Gamma(\delta/2)}}_{\mathrm{vol}(S^{\delta-1})}\int_0^\infty dr \,r^{\delta-1} f(r) \end{align}