¿Qué es $\int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{n}x \sin x \ln x}{x} dx$?

Question

Dejando $\gamma$ el valor de Euler-Mascheroni constante, la evaluación de $\int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{n}x \sin x \ln x}{x} dx$$n \in \{ 1, 2, 3, 4 \}$, tenemos que:

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{1}x \sin x \ln x}{x} dx & = - \frac{1}{4} \pi \left( \gamma + \ln 2 \right), \\ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{2}x \sin x \ln x}{x} dx & = - \frac{1}{8} \pi \left( 2 \gamma + \ln 3 \right), \\ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{3}x \sin x \ln x}{x} dx & = - \frac{1}{16} \pi \left( 3 \gamma + \ln 16 \right), \\ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{4}x \sin x \ln x}{x} dx & = - \frac{1}{32} \pi \left( 6 \gamma + \ln 135 \right). \end{align*} $$

Más en general, parece que $$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos^{n}x \sin x \ln x}{x} dx = - \frac{1}{2^{n+1}} \pi \left( \binom{n}{ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor } \gamma + \ln a_{n} \right)$$ for some integer sequence $$(a_{n} : n \in \mathbb{N}) = \left( 2, 3, 16, 135, 49152, 430565625, 1641562064176545792, \ldots \right)$$ que no está actualmente en el On-Line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros.

Idealmente, me gustaría encontrar una forma cerrada de evaluación para esta secuencia. Alternativamente, yo estaría interesado en la evaluación de esta secuencia como una sumatoria (por ejemplo, un binomio de la suma), los términos de los cuales tiene una forma cerrada de la evaluación.

He tratado de evaluar esta secuencia mediante la evaluación de las integrales indefinidas de la forma $\int \frac{\cos^{n}x \sin x \ln x}{x} dx$, pero esto es difícil, ya que Mathematica no es capaz de evaluar una general integral indefinida de esta forma, y Mathematica sólo es capaz de evaluar las integrales indefinidas de este formulario para valores específicos de $n \in \mathbb{N}$ usando hipergeométrica generalizada de las funciones y la función gamma incompleta.

Answer 1

Un plan:

1. Podemos escribir $\cos^n(x)\sin(x)$ como una de Fourier senoidal de la serie, por lo que el problema se reduce a la evaluación de $\int_{0}^{+\infty}\sin(kx)\frac{\log x}{x}\,dx $;
2. La última integral es $f'(1)$ donde $f(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{x^a}\,dx=k^{a-1}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^a}\,dx$;
3. La integral de la $I(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^a}\,dx$ puede ser fácilmente evaluado a través de la transformada de Laplace, lo que conduce a: $$ I(a) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_{0}^{+\infty}\frac{s^{a-1}}{s^2+1}\,ds = \frac{\pi}{2\,\Gamma(a)\sin\left(\frac{\pi a}{2}\right)};$$
4. Poniendo todo junto, obtenemos:

   $$ \int_{0}^{+\infty}\sin(kx)\frac{\log x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}\left(\gamma+\log k\right). $$

Ahora sólo tenemos que calcular la transformada de Fourier senoidal serie de $\cos^n(x)\sin(x)$.