Método simplificado para determinantes de matrices simétricas

Question

Preparando mis exámenes finales he estado haciendo todos los ejercicios de mi libro de álgebra. He visto que hay muchísimos ejercicios sobre determinantes de matrices simétricas. Algunos son fáciles y otros son un poco más retorcidos, pero el problema básico es casi siempre el mismo.

He estado intentando idear algo para hacerlas un poco más rápido, ya que (al menos para mí) terminan invariablemente con un torrente muy feo de números y letras, y son realmente tediosas y requieren mucho tiempo. Llevo dos días con la sensación de que (siendo las matrices simétricas) debe haber una forma/captura/método/truco para calcular los determinantes de una forma más elegante, pero no he sido capaz de dar con nada.

Empecé con un $3\times 3$ matriz como esta:

$$A= \begin{pmatrix} \ a & b & c \\ b & a & b \\ c & b & a \end{pmatrix}$$

que mira bastante simple, pero lo mejor que se me ocurrió fue:

$2b^2(c-a)+a(a^2-c^2)$

y

$a(a^2-2b^2-c^2)+2b^2c$

Estos se ven horribles y absolutamente no son lo que alguien en su sano juicio usaría. No hace falta decir que ni siquiera he probé con esto con matrices mayores de 3.

Por supuesto, mi nivel de matemáticas es básico (rara vez uso el álgebra lineal y el cálculo fuera de la universidad, por lo que tiendo a olvidarlos completamente de un año a otro) y no tengo muchas herramientas para hacer esto, así que no sé realmente si estoy intentando algo que es demasiado para mi nivel o si simplemente no se puede hacer. He consultado todos los libros sobre matrices en la biblioteca de la universidad, pero ninguno menciona nada especial sobre el cálculo de determinantes para matrices simétricas. ¿Hay algo que se me haya escapado o no hay nada que hacer al respecto?

Answer 1

Tenías una bonita matriz simétrica con todos los elementos diagonales iguales. Es una forma especialmente sencilla, como ya han señalado otros, por supuesto. Tal vez valga la pena ver que tu ecuación no es tan loca analíticamente y puede ser resuelta hasta cierto punto para sacar algo útil.

Prueba de un determinante cero

Mira lo que siempre ocurre cuando c=a. Un desastre para la invertibilidad. El determinante para ese tipo de matriz debe ser siempre cero . Cuando obtengas una ecuación como ésta para un determinante, ¡ponlo a cero y mira lo que pasa! Son, por definición, una descripción de todas tus matrices singulares.

Esa es posiblemente la prueba más útil para pensar directamente porque sólo hay que preocuparse de calcular el valor del determinante si no es cero. Otra forma de decir que si tu matriz simétrica tiene todas las entradas diagonales igual que en tu post original, puedes usar tu ecuación para probar si ese determinante es cero sin calcular realmente el determinante.

2b 2 (ca)+a(a 2 c 2 )= f (a,b,c)

Esta función puede seguir pareciendo horrible, pero tiene ceros en otros lugares que el caso trivial en el que a=c. Esto también es cero donde,

2b 2 (ac)=a(a 2 c 2 )

Tenga en cuenta que: (a 2 c 2 )=(a+c)(a-c) lo que significa que(a-c) puede ser factorizado desde el LHS y el RHS,

2b 2 \=a(a+c)

o,

2b 2 \=a 2 +ac

Lo que resuelve la c,

c = (2b 2 -a 2 )/a

O si lo prefieres b,

b = sqrt(a 2 +ac)

Si c=a o c = (2b 2 -a 2 )/a sostener entonces estás absolutamente garantizado un determinante nulo y no hay que calcular el determinante a partir del cálculo de nada más que (2b 2 -a 2 )/a y compararlo con el valor de c. Por supuesto, esto sólo es válido para matrices de la forma que has publicado con todos los elementos de la diagonal principal iguales.

Determinantes por el método de las matrices/diagonalidades extendidas

Si quieres un método de fuerza bruta para calcular los determinantes y de una manera que hace casi imposible equivocarse sólo porque está muy organizado, está el llamado método americano. Es difícil de superar en cuanto a simplicidad, pero implica cierta redundancia.

Supongamos que sí, $$\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} \right]$$

Ahora pasa a la notación matricial aumentada... toma las dos primeras columnas y haz algo que parece totalmente redundante pero que acabará siendo realmente simplificador. Vuelve a escribir las dos primeras columnas a la derecha de la matriz original, para obtener algo así,

$$\left[ \begin{array}{ccc|cc} 1&2&3&1&2\\ 4&5&6&4&5\\ 7&8&9&7&8 \end{array} \right]$$

Si miras las diagonales que están a la derecha de la diagonal principal y son paralelas a ella, si tomaras el producto de tres términos cualesquiera de esas tres diagonales vecinas pues, sólo míralas, son todos los términos positivos que aparecen en el determinante, ahora reagrupados en diagonales .

Así que son (1 x 5 x 9) + (2 x 6 x 7) + (3 x 4 x 8)=(45)+(84)+(96)=225 y esos son los términos positivos.

De ahí quitas todos los términos que se restarían y lo, puedes ubicar en las tres diagonales que van en sentido contrario.

Así que tendremos que restar (3 x 5 x 7) + (1 x 6 x 8) + (2 x 4 x 9) = 105 + 48 + 72=225

Así que el determinante en este caso es 225-225 = 0.

Nunca falla.

Este método sólo reagrupa los términos positivos y negativos del determinante en diagonales. Así que mi propia preferencia para las matrices donde no hay filas o columnas fáciles de trabajar, donde una matriz no es muy escasa y no se puede utilizar otros métodos para ahorrar mucho tiempo, este método de aspecto más largo funciona bastante rápidamente para los determinantes de cualquier dimensión y es casi imposible de estropear esto.

Answer 2

Casos especiales

No puedo responder directamente a tu pregunta, pero hay casos especiales (de los que sólo puedo identificar 1 en este momento) para los que se pueden simplificar los cálculos.

Matrices de proyección

$det\left(A\right) = 0$ , si $A = \vec{v}\left(\vec{v}\right)^T$ bc...

• Para este caso especial, la matriz se denomina matriz de proyección; comúnmente se denota como $P$ .
• Las matrices de proyección son un subconjunto de las matrices simétricas.
• Obsérvese la propiedad 1 de los determinantes: $det\left(A\right) = det\left(ref\left(A\right)\right)$ .
• Obsérvese la propiedad 2 de los determinantes: $det\left(A\right) = 0$ , si $A$ es una matriz singular.
• $ref\left(P\right)$ es singular por definición (es decir, filas dependientes); Por lo tanto, por p1 y p2, concluyo.

Otro caso especial

Si se te ocurren más, coméntalo y los añadiré.

Answer 3

He estado haciendo algunas pruebas y errores en MATLAB para las matrices que sigue la matriz $A$ de la pregunta original (simétrica con términos iguales en sus diagonales) y después de buscar la secuencia de determinantes obtenida en OEIS.org, ¡he encontrado una buena fórmula para ello! $\det(A) = (-1)^{n-1}(n+1)2^{n-2}$ . ¡Ahora estoy tratando de averiguar por qué!