Método simplificado para determinantes de matrices simétricas

Question

Preparando mis exámenes finales he estado haciendo todos los ejercicios de mi libro de álgebra. He visto que hay muchísimos ejercicios sobre determinantes de matrices simétricas. Algunos son fáciles y otros son un poco más retorcidos, pero el problema básico es casi siempre el mismo.

He estado intentando idear algo para hacerlas un poco más rápido, ya que (al menos para mí) terminan invariablemente con un torrente muy feo de números y letras, y son realmente tediosas y requieren mucho tiempo. Llevo dos días con la sensación de que (siendo las matrices simétricas) debe haber una forma/captura/método/truco para calcular los determinantes de una forma más elegante, pero no he sido capaz de dar con nada.

Empecé con un $3\times 3$ matriz como esta:

$$A= \begin{pmatrix} \ a & b & c \\ b & a & b \\ c & b & a \end{pmatrix}$$

que mira bastante simple, pero lo mejor que se me ocurrió fue:

$2b^2(c-a)+a(a^2-c^2)$

y

$a(a^2-2b^2-c^2)+2b^2c$

Estos se ven horribles y absolutamente no son lo que alguien en su sano juicio usaría. No hace falta decir que ni siquiera he probé con esto con matrices mayores de 3.

Por supuesto, mi nivel de matemáticas es básico (rara vez uso el álgebra lineal y el cálculo fuera de la universidad, por lo que tiendo a olvidarlos completamente de un año a otro) y no tengo muchas herramientas para hacer esto, así que no sé realmente si estoy intentando algo que es demasiado para mi nivel o si simplemente no se puede hacer. He consultado todos los libros sobre matrices en la biblioteca de la universidad, pero ninguno menciona nada especial sobre el cálculo de determinantes para matrices simétricas. ¿Hay algo que se me haya escapado o no hay nada que hacer al respecto?

Answer 1

Ya no se puede hacer mucho para simplificar eso.

En cualquier caso, lo que has escrito es un caso especial de una matriz simétrica. En general, una matriz simétrica $3 \times 3$ matriz tendrá la forma:

$$A= \begin{pmatrix} \ a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix}$$

que tiene un determinante de $a(df-e^2) + b(ce-bf) + c(be-dc)$ . Incluso con peor aspecto.

El único momento en que realmente se simplifica es si tienes ceros ahí. La forma más sencilla de calcular es no hacerlo.

Answer 2

Do R1 --> R1+R2+R3
sacar $(a+b+c)$ terminará con
$$=(a+b+c)\begin{pmatrix} \ 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}$$

c1 --> c1-c3
c2 --> c2-c3

$$=(a+b+c)\begin{pmatrix} \ 0 & 0 & 1 \\ b-a & c-a & a \\ c-b & a-b & b \end{pmatrix}$$

expandiéndose a lo largo de la R1:
$$=(a+b+c)(a^2 +b^2 + c^2 -ab-bc-ca)$$

Answer 3

Prefiero escribir:

$(a-c)(a^2 + ac - 2b^2)$

que refleja claramente que el determinante es $0$ si $a = c$ (porque dos filas serían iguales).

Deberías probar en dimensiones superiores para ver si surge un patrón y/o buscar si algunas propiedades de las matrices simétricas pueden proyectarse en la expresión del determinante.

Answer 4

¿Qué es "elegante"? Si $a \ne 0$ y $M_{i,j}$ es el $(i, j)$ menor de una matriz $M$ (ver Wikipedia ), entonces el determinante de la matriz $M$ que usted presenta es $(M_{3,3}^2 - M_{1,3}^2)/a$ . Esto es posiblemente más "elegante".

Answer 5

No, que yo sepa no hay una forma sencilla de hacerlo. (Probablemente por eso siempre usamos el ordenador para hacer el simple pero tedioso cálculo)

Pero hay una forma genial de hacerlo.

Se puede demostrar que cualquier matriz simétrica $A$ puede descomponerse (descomposición espectral) en $$A=\Gamma^T \Lambda \Gamma$$ donde $\Gamma$ es una matriz ortogonal ( $\Gamma^T\Gamma=I$ ) y $\Lambda$ es una matriz diagonal.

Con esta descomposición queda claro $|A|=\prod_{i} \lambda_i$ donde $\lambda_i$ es el $i$ elemento diagonal de $\Lambda$ . Sin embargo, el esfuerzo que supone encontrar $\Gamma$ para diagonalizar $A$ es más o menos similar al esfuerzo por encontrar el determinante de $A$ directamente.