¿Por qué no $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(x)$ especificado como $\frac{1}{x},x>0$?

Question

Como yo lo entiendo, $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x)\end{eqnarray} $ es generalmente especificado como $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$. Sería más apropiado decir como $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}, x>0\end{eqnarray}$ desde $\ln(x)$ no está definido para $x\leq0$? Si no, ¿por qué no? Además, ¿qué implica esto acerca de la integral indefinida o de la integral definida con la negativa de los límites de la integración de $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$?

Gracias!

Answer 1

Cada vez que escribimos algo como $\ln(x)$, estamos implícitamente afirmando que $x$ está restringido a los $x$s para que la expresión tenga sentido.

Cuando escribimos $$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$$ we are then implicitly and automatically saying that $x$ is positive for the equation to make sense. As for integrals, that's why $$\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,$$ con los valores absolutos: tenga en cuenta que $$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}(-x)' = \frac{1}{x}$$ así, por la Regla de la Cadena, por lo que $$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}.$$

Para una integral definida para hacer sentido, se necesita la función definida en todo el intervalo de integración (al menos, por la costumbre de las integrales de Riemann), por lo $\int_a^b\frac{1}{x}\,dx$ no ha $a\lt 0 \lt b$ y sentido. Cualquiera de las $0\lt a\lt b$ o $a\lt b\lt 0$.

Usted puede tratar de hacer una integral $\int_a^b \frac{1}{x}\,dx$ $a\lt 0\lt b$ como una integral impropia, pero usted encontrará que la integral no converge; ni $\int_0^b\frac{1}{x}\,dx$ ni $\int_a^0\frac{1}{x}\,dx$.

Answer 2

Otra respuesta. Algunas personas extrañas uso de números complejos, no sólo de los números reales. Para ellos, log(x) tiene sentido aparte de $x>0$. Y para ellos, su derivada es $1/x$. Lo que es más importante: para ellos, $\int (1/x)\,dx = \log(|x|)+C$ es MALO!