Cada mapa continuo $f : \mathbb{R} \mathbb{P}^n \to \mathbb{R} \mathbb{P}^n$ tiene un punto fijo para $n = 2$? $n = 3$? y $n = 4$?

Question

Estoy tratando de resolver esta pregunta, pero no tengo ni idea de cómo empezar. Gracias!

Cada mapa continuo $f : \mathbb{R} \mathbb{P}^n \to \mathbb{R} \mathbb{P}^n$ tiene un punto fijo para $n = 2$? $n = 3$? y $n = 4$?

Answer 1

Para $ \mathbb{RP}^3 $ la respuesta es no. De hecho, este espacio es homeomórficos a un grupo topológico (es decir,$SO(3)$) y la afirmación es falsa para grupos (ya que la multiplicación por un elemento de grupo es continua y no tiene puntos fijos).

Para $ \mathbb{RP}^2 $ y $ \mathbb{RP}^4 $ la respuesta es sí, a través de la Lefschetz teorema de punto fijo (véase el Teorema de 2C.3, pág. 179, de Hatcher, por ejemplo). El punto es que toda la homología es la torsión, excepto en el grado 0, donde la inducida por el mapa es el de la identidad, por lo que el número de Lefschetz no puede desaparecer.

Answer 2

(Sólo para la diversión: una solución sin el teorema de Lefschetz)

Cualquier mapa de $f:\mathbb RP^n\to\mathbb RP^n$ ascensores de un mapa de universal cubre, $\tilde f:S^n\to S^n$. Pero $\chi(S^n)$ es distinto de cero para, incluso,$n$, lo $\tilde f$ tiene un punto fijo o punto de la asignación a su antípoda (de lo contrario $\tilde f(x)-x$ da un no-desaparición de vector de campo). Por lo $f$ tiene un punto fijo.

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Y para $n=2k+1$ incluso hay una libre $S^1$-acción: $S^1\subset\mathbb C^\times$ actúa en $S^{2k+1}\subset\mathbb C^{k+1}$ - lo $S^1\cong S^1/\{\pm1\}$ actúa en $S^{2k+1}/\{\pm1\}=\mathbb RP^{2k+1}$.