Encontrar el lado de un triángulo equilátero dado sólo a la distancia de un punto arbitrario de sus vértices

Question

Triángulo $ABC$ es un triángulo equilátero y $P$ es un punto arbitrario en su interior. La distancia de $P$ $A$ $4$y la distancia de $P$ $B$ $6$y la distancia de$P$$C$$5$. Cómo encontrar el lado de un triángulo equilátero a partir de esta información?

Answer 1

Si usted llama a las distancias de$P$$A, B, C$, dicen, $a, b, c$, respectivamente, por la Ley de los Cosenos al lado de la longitud de $s$ a de un triángulo equilátero está dada por

$s^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \widetilde{C} = b^2 + c^2 - 2 b c \widetilde{A} = c^2 + a^2 - 2 c a \widetilde{B}$ $(\ast)$,

donde $\widetilde{A} = \cos \angle BPC$, $\widetilde{B} = \cos \angle CPA$, y $\widetilde{C} = \cos \angle APB$. No sabemos de estos ángulos, o (casi equivalente) de sus cosenos, así que buscamos eliminar estas cantidades y resolver para $s$.

Ahora, los tres ángulos suman a $2\pi$, y así

$\widetilde{C} = \cos \angle APB = \cos(2 \pi - \angle BPC - \angle CPA) = \cos(\angle BPC + \angle CPA)$

Aplicar el coseno del ángulo suma de identidad obtenemos

$\widetilde{C} = \widetilde{A} \widetilde{B} - \sin \angle BPC \sin \angle CPA$.

Podemos resolver para los dos senos mediante la introducción de raíces cuadradas, pero podemos evitar esta cambiando y el cuadrado, dando

$(\widetilde{A} \widetilde{B} - \widetilde{C})^2 = \sin^2 \angle BPC \sin^2 \angle CPA = (1-\widetilde{A}^2)(1-\widetilde{B}^2)$.

La solución para $\widetilde{A}, \widetilde{B}, \widetilde{C}$$(\ast)$, y reorganizando da una ecuación racional en $r_1, r_2, r_3, s$ cuyas raíces se $s$ $r_1, r_2, r_3$ son las posibles longitudes de los lados. Multiplicando por el denominador común de las $4 a^2 b^2 c$ tenemos un equivalente de la ecuación polinomial:

$s^2 [s^4 - (a^2 + b^2 + c^2)s^2 + (a^4 + b^4 + c^4 - b^2 c^2 - c^2 a^2 - a^2 b^2)] = 0$.

Después de descartar el coeficiente de $s^2$, la ecuación resultante es cuadrática en $s^2$, por lo que podemos aplicar la ecuación cuadrática y tomar las raíces de la expresión resultante para encontrar $s$, por lo que en general puede haber dos soluciones que implican anidada dos radicales (mirando hacia atrás en el único paso irreversible, el cuadrado de la ecuación trigonométrica, vemos que no vamos a introducir soluciones falsas). Observe que algunas de las soluciones que corresponden a triángulos para que la distancia se cumplen ciertas condiciones, pero el punto de referencia se encuentra fuera del triángulo.

En tu ejemplo, tomando longitudes de los lados $4, 5, 6$ dar posibles longitudes de los lados de $\frac{1}{2} \sqrt{154 \pm 30 \sqrt{21}}$. El más grande se cumple la condición de que el triángulo que contiene el punto de referencia, ya que la mayor longitud es mayor que $\frac{2}{\sqrt{3}} r$$r = a, b, c$, y el más pequeño de solución no.

Observación podemos analizar el polinomio de cuarto grado para deducir las condiciones en $(a, b, c)$ que determinar el número de coeficientes. De nuevo viendo el polinomio como de segundo grado en $s^2$, las soluciones para $s^2$

$s^2 = \tfrac{1}{2}[(a^2 + b^2 + c^2) \pm \sqrt{\Delta}]$,

y nos encontramos con que su discriminante es

$\Delta = -3 (a + b + c) (a - b - c) (b - c - a) (c - a - b)$.

El análisis de esta condición le da a ese $\Delta$ es

• positivo si no uno de los tres longitudes $a, b, c$ es mayor que o igual a la suma de los otros dos
• cero iff una de las longitudes es igual a la suma de los otros dos
• negativo iff una de las longitudes es mayor que la suma de los otros dos.

Esto nos da inmediatamente la siguiente:

• Si una de las longitudes es mayor que la suma de los otros dos, no existen soluciones positivas (o incluso de los de verdad, para el caso).
• Si una de las longitudes es igual a la suma de los otros dos, decir $c = a + b$, hay una solución positiva, es decir, $s = \sqrt{\frac{1}{2} (a^2 + b^2 + c^2)} = \sqrt{a^2 + ab + b^2}$.

Así, a partir de ahora suponga que no longitud es al menos la suma de los otros dos, y por lo $\Delta > 0$, e $s = \sqrt{\frac{1}{2} \left(a^2 + b^2 + c^2 \pm \sqrt{\Delta}\right)}$ es siempre una solución al $\pm$ es $+$. Se le dará una solución al $\pm$ es $-$ si $a^2 + b^2 + c^2 > \sqrt{\Delta}$, o lo que es equivalente, cuando $a^2 + b^2 + c^2 - \Delta > 0$. Pero, por definición, de $\Delta$, el lado izquierdo es sólo $4$ veces el término constante en el polinomio, el cual puede ser escrito como

$\frac{1}{2}[(a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2]$,

que siempre es positivo (y cero iff $a = b = c$).

Poner estos hechos nos da que:

• Si ninguna de las longitudes es mayor que la suma de los otros dos, pero no a los tres longitudes son las mismas, hay dos soluciones, a saber, $\sqrt{\frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2) \pm \Delta}$.
• Si las tres longitudes son las mismas, decir $r$, hay una solución positiva, es decir,$\sqrt{3} r$, que corresponde a un triángulo equilátero centra en el punto de referencia; $0$ es también una solución, y corresponde a un degenerado triángulo de lado de longitud $0$, es decir, un punto, una distancia $r$ desde el punto de referencia.

Answer 2

Deje $P=0\in{\mathbb C}$, y deje $M={d\over\sqrt{3}}>0$ ser el centro del triángulo. Al $s$ es el lado del triángulo, a continuación, hay un argumento de $\phi$ tal que los tres vértices están dados por $$A={1\over\sqrt{3}}(d+se^{i\phi}),\quad B={1\over\sqrt{3}}(d+s\omega e^{i\phi}),\quad C={1\over\sqrt{3}}(d+s\bar\omega e^{i\phi})\ ,$$ donde $\omega=e^{2\pi i/3}$ es un tercio de la raíz de la unidad. Cuando $a$, $b$, $c$ son los dadas las distancias con lo que tenemos $$\eqalign{ a^2&={1\over3}(d^2 + ds(e^{i\phi}+e^{-i\phi})+s^2) \cr b^2&={1\over3}(d^2 + ds(\omega e^{i\phi}+\bar\omega e^{-i\phi})+s^2) \cr c^2&={1\over3}(d^2 + ds(\bar\omega e^{i\phi}+\omega e^{-i\phi})+s^2) \cr}\etiqueta{1}$$ La adición de estas tres ecuaciones da $$a^2+b^2+c^2=d^2+s^2\ .\tag{2}$$ Multiplicando las ecuaciones $(1)$ con $1$, $\omega$, $\bar\omega$ (resp. con $1$, $\bar\omega$, $\omega$), y sumando obtenemos $$\eqalign{ a^2+\omega b^2+\bar\omega c^2&=dse^{-i\phi}\cr a^2+\bar\omega b^2+\omega c^2&=dse^{i\phi}\ .\cr}\etiqueta{3}$$ Con el fin de eliminar $\phi$ que ahora se multiplican las dos ecuaciones $(3)$. El uso de $\omega+\bar\omega=-1$ tenemos $$a^4+b^4+c^4-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=d^2s^2\ .\tag{4}$$ Escrito $$a^2+b^2+c^2=:\sigma_1,\qquad a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=:\sigma_2$$ podemos condensar $(2)$ $(4)$ a $$d^2+s^2=\sigma_1,\qquad d^2s^2=\sigma_1^2-3\sigma_2\ .$$ Esto lleva a $$s^4-\sigma_1s^2+\sigma_1^2-3\sigma_2=0\ ,$$ a partir de que $s$ puede ser determinado.

Para los datos que obtenemos $\sigma_1=77$, $\sigma_2=1876$, y esto conduce a la $s^4-77s^2+301=0$, o $s_1=8.536$, $s_2=2.0324$. (Parece que $s_2$ corresponde a una solución donde la $P$ está fuera del triángulo.)

Answer 3

Usted puede saber este resultado para un triángulo equilátero de lado a y de la distancia de P a vértices x,y, z. $$\frac{a^2+x^2-y^2}{2xa} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{a^2+x^2-z^2}{2xa}+\frac{1}{2} \sqrt{1- \Big(\frac{a^2+x^2-z^2}{2xa}\Big)^2}$$ Después de poner los valores de $(x,y,z)=(4,5,6)$ se convierte en: $$\frac{a^2+4^2-5^2}{8a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{a^2+4^2-6^2}{8a}+\frac{1}{2} \sqrt{1- \Big(\frac{a^2+4^2-6^2}{8a}\Big)^2}$$ Resolviendo obtenemos: $$a=1/2\sqrt{154\pm30\sqrt{21}}\sim 8,2$$

Answer 4

Voy a ofrecer una construcción geométrica de un triángulo equilátero, y en el proceso de deducir una expresión analítica para el lado de longitud. Los nombres de los siguientes puntos es por coherencia con la pregunta; todos los triángulos son etiquetados con vértices en orden de las agujas del reloj.

Deje $\Delta PCD$ ser un triángulo equilátero con lado de longitud $5$. Podemos construir círculos con los respectivos radios $4,6$ y centros de $P,D$. Estos se cortan en dos puntos; deje $A$ ser la intersección para que $A$ y el vértice $C$ mentira en los lados opuestos de la línea de la EP. A continuación, podemos encontrar un punto de $B$ tal que el triángulo $\Delta ABC$ es equilátero. Observar que el punto de $P$ está dentro de $\Delta ABC$, y que por construcción $|PA|=4$$|PC|=5$.

Yo reclamo que por otra parte $|PB|=6$, y así demostrar que los triángulos $\Delta ACD$ $\Delta BCD$ son congruentes. $\overline{BC}$ $\overline{BC}$ a que ambos pertenecen al triángulo equilátero $\Delta ABC$, de modo que son congruentes; el mismo razonamiento de los rendimientos de $\overline{CD}\cong \overline{CP}$ desde $\Delta PCD$ es equilátero. Pero $\angle BCD=\angle BCP+\angle PCA$ $\angle PCD=\angle PCA+\angle PCD$ son ambos ángulos internos de equilaterial triángulos, y así cada uno de los ángulos son de $60^\circ$. Por lo tanto $\angle BCP=\angle PCD$ y llegamos a la conclusión de que $\Delta ACD$ $\Delta BCD$ son de-lado-ángulo-lado congruentes. Por lo tanto,$|PB|=|AD|=6$, y la construcción de \Delta ABC está satisfecho. El resultado se muestra en la siguiente figura, con sombra para distinguir los triángulos equiláteros.

Uno podría determinar las longitudes de los lados de $\Delta ABC$ sintéticamente así, pero en lugar de ello voy a hacerlo analíticamente. Asignamos las coordenadas de nuestros puntos iniciales como $P(0,0)$, $D(5,0)$, y $C(\frac{5}{2}\frac{5\sqrt{3}}{2})$, los cuales son fáciles de ver para definir un triángulo equilátero. Para encontrar $A$, se resuelve por la intersección de los círculos como

$$\left\{\begin{array}{rr} x^2+y^2=4^2 \\ (x-5)^2+y^2=6^2 \end{array}\right.\implies (x,y)=\left(\frac{1}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)$$

cuando, de acuerdo con la construcción nos han llevado $y<0$ desde $C$ se encuentra por encima de la línea de $PD$ es decir $x$-eje. Por lo tanto la longitud lateral es $$|AC|=d(A,C)=\sqrt{\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{77}{2}+\frac{15}{2}\sqrt{21}}.$$