Homomorfismo entre grupos finitos; mostrando que el orden de la imagen divide los órdenes de cada grupo.

Question

Me han hecho una pregunta:

Sean G y H grupos finitos y $f:G\rightarrow H$ un homomorfismo. Demuestre que $|f(G)|$ divide ambos $|G|$ y $|H|$ .

Así que intento proceder de la siguiente manera:

sea K = ker(f)

entonces |f(G)| = |G/K| = [G : K]

(¿Correcto? Creo que es una consecuencia del primer Iso Thm.)

Ahora, por Lagrange, el índice [G:K] divide a |G|. Pero no consigo demostrar que |f(G)| divide a |H|. Un escollo para mí es que f no está en to, así que ¿cómo puedo dar cuenta de los otros miembros de H?

Creo que un poco de dirección aquí podría ayudarme rápidamente a mejorar enormemente mi comprensión de este material; sólo he sido introducido a ella durante la última semana o así y no está resonando todavía. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que la clave aquí es darse cuenta de que $f(G)$ es un subgrupo de $H$ Así pues $\vert f(G) \vert \mid \vert H \vert$ por el teorema de Lagrange. Además, $\ker f$ es un subgrupo (normal) de $G$ con $G / \ker f$ isomorfo de $f(G)$ . Así $\vert G \vert = [G:\ker f] \vert \ker f \vert = \vert f(G) \vert \vert \ker f \vert$ , mostrando $\vert f(G) \vert \mid \vert G \vert$ . De hecho, hemos establecido la relación ordenada $\vert G \vert = \vert \ker f \vert \vert f(G) \vert = \vert \ker f \vert \vert \text{im} f \vert$ . QED

Espero que le sirva de ayuda. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!