Es cierto que para $x\in[0,2\pi]$ hemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}=\frac{x^2}{4}-\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi^2}{6}$$ ¿Cómo puedo demostrarlo? Para otros intervalos de ¿cuál es el valor anterior de la serie si es convergente?
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Ron Gordon
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Ver los resultados publicados aquí, donde me muestran que la
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2{a n}}{n^2} = \pi a$$
al $a \in (0,\pi)$. Ahora, utilice el hecho de que
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
y deje $S$ ser la suma en cuestión. Entonces
$$\frac{\pi^2}{6} - S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\cos{n x}}{n^2} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2{n x/2}}{n^2}$$
La reescritura de la última suma como
$$2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2{n x/2}}{n^2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2{n x/2}}{n^2} - \left ( \frac{x}{2} \right )^2 = \pi \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4}$$
Entonces
$$\frac{\pi^2}{6} - S = \pi \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} \implies S = \frac{x^2}{4} - \pi \frac{x}{2} + \frac{\pi^2}{6}$$
como iba a ser mostrado.
La suma plazo $$T(x) = \sum_{n\ge 1}\frac{\cos(nx)}{n^2} = x^2 \sum_{n\ge 1}\frac{\cos(nx)}{(xn)^2}$$ es armónico y puede ser evaluado por la inversión es Mellin transformar. Poner $$S(x) = \sum_{n\ge 1}\frac{\cos(nx)}{(xn)^2}$$ y recuperar la armonía en la suma de identidad $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$
En el presente caso tenemos $$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{\cos x}{x^2}.$$ Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es $$\int_0^\infty \frac{\cos x}{x^2} x^{m-1} dx = \int_0^\infty \cos x \times x^{(s-2)-1} dx.$$ Ahora la transformada de Mellin $\cos(x)$ fue calculado en este MSE enlace y se encontró que $$\Gamma(s) \cos(\pi s/2)$$ y por lo tanto $$g^*(s) = \Gamma(s-2) \cos(\pi (s-2)/2) = \Gamma(s-2) \cos(\pi s/2 - \pi) = -\Gamma(s-2) \cos(\pi s/2).$$ Por lo tanto, la Mellin transformar $Q(s)$ $S(x)$ está dado por $$ Q(s) = -\Gamma(s-2) \cos(\pi s/2) \zeta(s) \quad\text{porque}\quad \sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} = \zeta(s).$$ Por lo tanto, la Mellin de inversión integral para una ampliación sobre el cero es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{5/2-i\infty}^{5/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$ que evaluamos en la mitad izquierda del plano - $\Re(s)<5/2.$ El coseno plazo cancela los polos de la función gamma plazo en impares enteros negativos y el zeta función de término de los polos incluso números enteros negativos. Nos quedamos con sólo tres polos. $$\begin{align} \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; x=2) & = \frac{\pi^2}{6x^2} \\ \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; x=1) & = -\frac{\pi}{2x} \quad\text{and}\\ \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; x=0) & = \frac{1}{4}. \end{align}$$ Por lo tanto, en una vecindad de cero, $$S(x) = \frac{\pi^2}{6x^2} -\frac{\pi}{2x} +\frac{1}{4}.$$ El uso de $T(x) = x^2 S(x)$ esto finalmente los rendimientos en un barrio de cero que $$T(x) = \frac{\pi^2}{6} -x\frac{\pi}{2} +x^2\frac{1}{4}.$$ Desde $T(x)$ es periódica con período de $2\pi$ el intervalo de esta aproximación es buena en $(0,2\pi).$
Hay un teorema de ocultar aquí, es decir, que ciertas series de Fourier puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin transforma el cual no es muy sorprendente y que el lector es invitado a estado y de probar.
