Nota: después de no recibir ninguna respuesta por algún tiempo, me pregunté esto en mathoverflow, y recibió una respuesta allí.
La Pregunta:
Es posible que un diffeomorphism $\phi$ (de un suave colector $M$) tienen las siguientes propiedades:
- Todos sus órbitas son finitos.
- $\phi$ es no finito de orden. (y por lo tanto tiene arbitrariamente grande finito órbitas).
Hay ejemplos, si nos permiten una infinidad de componentes conectados (por ejemplo, contables distintos copias de $\mathbb{S}^1$ y la rotación de orden $n$ $n$- th copia).
Así que supongamos $M$ está conectado. (Puedo demostrar a continuación que podemos reducir el caso de un número finito de componentes de un componente).
Voy a añadir que esta pregunta se inspiró en una pregunta anterior de la mina, sobre el mundial de obstrucciones para una diffeomorphism a ser una isometría (Se puede ver la actualización que hay para la conexión pertinente).
Actualización: Resulta que la respuesta es negativa. No hay un diffeomorphism. (Para más detalles ver la respuesta en mathoverflow).
Reclamo: la existencia de una auto-diffeomorphism para un colector con un número finito de componentes conectados, implica la existencia de un ramal colector.
La prueba: En este caso los componentes de $U_i$ son clopen conjuntos conectados, por lo tanto $\phi(U_i)$ son también clopen conjuntos conectados. Ahora se combinan los dos siguientes hechos:
- clopen conjuntos son siempre una unión de los componentes conectados.
- cada conectado subconjunto de un espacio topológico $X$ está contenida en un componente conectado a $X$.
Ahora es evidente que cada una de las $\phi(U_i)$ es un componente conectado, yo.e $\phi$ permutes los componentes. Puesto que hay un número finito de componentes, si elegimos algún componente $U_i$, obtendremos $\phi^n(U_i)=U_i$ para suficientemente grande $n$.
Siguiente, podemos observar que los si $\phi$ tiene dos propiedades necesarias, a continuación, $\phi^n$ también los tiene.
Así que, finalmente, $\phi^n|_{U_i}$ es un auto-diffeomoprhism de un conectado el colector con las propiedades requeridas.
