Deje $R$ ser un anillo (con la unidad) y deje $E = \text{End}_{\text{Ab}}(R)$ ser el anillo de endomorphisms de $R$'s subyacente abelian grupo. Hay un inyectiva anillo homomorphism $\lambda: R \to E$ permitiendo $R$ a actuar sobre sí mismo por la izquierda de la multiplicación.
Un ejercicio de Álgebra: Capítulo 0 por Paolo Aluffi le pide al estudiante para demostrar que este mapa induce un isomorfismo de los centros de $Z(R)$$Z(E)$. Puedo demostrar que un elemento de $Z(E)$ debe estar a la izquierda de la multiplicación por un elemento de a $Z(R)$, pero de alguna manera yo no puedo ver por qué un elemento de $Z(R)$ es necesariamente asigna a un elemento de $Z(E)$. Claramente la imagen $\lambda_r$ algunos $r \in Z(R)$ deben de viajar con todos los otros a la izquierda de la multiplicación endomorphisms, pero no puedo convencerme de que no habrá algún otro endomorfismo que no conmutan.
¿Por qué, entonces, es el caso de que $\lambda(Z(R)) \subset Z(E)$?
[Algunas notas:
- La sugerencia en el libro de texto deja en claro que esta es la "fácil", la dirección, así que estoy seguro de que la respuesta no es difícil, PERO...
- El libro de texto no ha introducido módulos O matrices, lo que me hace creer que esta proposición puede ser verificado con la mano (sin maquinaria nueva).]
ACTUALIZACIÓN: parece que esta afirmación es falsa. Es casi cierto? Alguien sabe lo que el autor podría tener la intención de aquí?
ACTUALIZACIÓN 2: he hablado con el autor, quien nos dio las gracias por traer el error y contraejemplo para su atención. Una fe de erratas se agrega a su sitio web.
