Composición continua con una función discontinua

Question

Supongamos $X$ es algunos conectado espacio topológico, $I$ es un intervalo y $Y$ es algo de espacio topológico. Deje $g: X\to I$ ser un proceso continuo y surjective función. Deje $f$ ser una función de $I \to Y$. Si $f \circ g$ es continua, debe $f$ ser continua?

Para probar que esto es suficiente para probar que si $x \in I$ $x_n$ converge a $x$ a partir de cualquiera de abajo o de arriba, a continuación, $f(x_n)$ converge a $f(x)$. Supongamos wlog que $x_n \geq x$ todos los $n$. Sería suficiente para encontrar $y$ $y_n$ tal que $g(y_n)=x_n$, $g(y)=x$ y $y_n \to y$.

Hay algunos $y \in X$ tal que $f(y)=x$. Además podemos elegir el $y$, de modo que cada conjunto abierto $ U \ni y$ contiene un $z$$g(z)>x$. (Sigue de la conexión.) Si $X$ fueron de primera contables creo que esto implicaría la existencia de la secuencia deseada $y_n$. Pero no puedo ver cómo a la conclusión de que este en general.

Answer 1

$f$ no necesita ser continua.

Deje $X = Y$ ser el topologist de la curva sinusoidal, es decir, $$X = Y = \{(x, \sin(1/x)) : 0 < x \le 1\} \cup (0,0) \subset \mathbb{R}^2$$ con la topología Euclidiana. Es bien conocido y fácil comprobar que $X$ está conectado. Tome $I = [0,1]$ y definen $g : X \to I$$g(x,y) = x$; a continuación, $g$ es un continuo bijection. Deje $f = g^{-1}$, es decir, $$f(x) = \begin{cases} (x, \sin(1/x)), & 0 < x \le 1 \\ (0,0), & x=0. \end{cases}$$ A continuación, $f \circ g$ es el mapa de identidad en $X$ que es continua, sino $f$ no es continua.

Un ejemplo con $I$ un intervalo abierto puede ser construido de manera similar (por ejemplo, $I=(-1,1)$ y sólo reflejan esta imagen acerca de la $y$ eje).