Cómo probar que para $n \in \mathbb{N}$ tenemos $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\leq \ln(n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

Question

Demostrar que para $n \in \mathbb{N}$ tenemos $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\leq \ln(n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$ mediante la integral de Riemann?

Answer 1

Observar que $\frac{1}{n}$ es la disminución de la $(1)$.

$$\int\limits_{1}^{n}{\dfrac{1}{x} \, dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{x}\, dx}+\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{1}{x}\, dx}+\cdots +\int\limits_{n-1}^{n}{\dfrac{1}{x}\, dx} \tag{2}$$

Para una función integrable $f$ si $ m \le f(x)\le M \quad \forall x\in [a,b]$ $$m(b-a)\le\int\limits_{a}^{b}{f(x) dx} \le M(b-a) \tag 3$$

Observar con la ayuda de $(1)$ $(3)$ que $$\dfrac{1}{m}\le\int\limits_{m-1}^{m}{\dfrac{1}{x}\, dx}\le \dfrac{1}{m-1} \tag{4}$$

El uso de $(2)$ $(4)$ que $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\leq \ln(n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

Answer 2

Sugerencia. Tenga en cuenta que en $[k, k+1] $ hemos $$ \frac 1{k+1} \le \frac 1x \le \frac 1k $$ Ahora se integran más de $[k, k+1] $ y la suma de 1 a $ n-1$.