Bien, he estado trabajando en un par de días, ahora, voy a tratar de dar detalles relevantes, pero se omiten algunos pasos intermedios.
El problema dado, dice:
Considere la posibilidad de la BVP para $u=u(x,y)$:
PDE: $u_{xx}+u_{yy}=0\ \text{ para }\ 0<x<\infty,\ 0<y<\pi$
BC: $u(x,0) = u(x,\pi) = 0,\ u(0,y) = f(y)$
La solución es estar delimitado en la franja de dominio, $f$, $f'$ seccionalmente continua. Encontrar el apartado de soluciones.
El uso de la superposición y de la serie de Fourier para encontrar la solución. Parcela aproximaciones por $f(y)=y$ y $f(y)=y(\pi-y)$.
Por lo que he usado de separación de variables y consiguió $u_n=\sin(ny)\sinh(nx)$ y $u_n=\sin(ny)\cosh(nx)$.
Un consejo que recibí de mi instructor era que teníamos que tomar una combinación lineal de ellos para asegurar que tenemos en nuestras rápidamente exponencial decreciente, así que llamé a la primera $u_{n_a}$ y el segundo $u_{n_b}$, entonces hice mi combinación lineal $u_{n_b}-u_{n_a}=0$, que me dejó después de algunos conversión a exponenciales y reorganización de $\sin(ny)e^{-nx}$. Luego terminé consiguiendo para los coeficientes reales de $a_0=0$ más trivialmente, $a_n=0$ por ortogonalidad, y $b_n=\frac{e^{-nx}}{2}$.
Entonces, me pregunto, estoy en la pista aquí, sería mi solución para que b sea la suma infinita de mi $b_n$ multiplicado por el $\sin(ny)e^{-nx}$ de la función?
Yo realmente podría utilizar algunos consejos sobre dónde ir en este problema en este punto, si alguien es capaz y dispuesto. Muchísimas gracias a cualquiera que pueda ayudar.
