Espero que está bien pedir algo como esto aquí, estoy teniendo problemas para mantenerse al día con todos los casos especiales y de mi libro es ser una especie de vaga.
Yo sé cómo hacer el método estándar de encontrar la diagonal de las matrices, pero sé que triangulares matrices son especiales y mi libro se hace una conexión, pero es difícil decir lo que es.
Gracias.
Para estos dos casos, el diagonalizability de triángulo superior de la matriz $A$ puede ser reconocido "por inspección":
La mayor parte de este post tratará los casos intermedios, donde algunas pero no todas las entradas de la diagonal son iguales. Diagonal de los valores de $d_i = A_{i,i}$ aparezca más de una vez se dice que ser repetido.
Supongamos que se repite en las entradas de la diagonal aparecen sólo en bloques contiguos, es decir, si $d_i = d_j$, $d_m = d_j$ para todos los índices de $m$$i$$j$.
A continuación, $A$ es diagonalizable si y sólo si cada bloque cuadrado correspondiente a la repetición de una diagonal de entrada es una matriz diagonal. Es decir, si $\lambda = d_i = \ldots = d_{i+k-1}$ es repetido $k$ a veces, el correspondiente diagonal submatriz es $k\times k$ matriz $\lambda I$.
Una prueba formal de este se puede visualizar fácilmente criterio se da al final de la respuesta.
¿Qué acerca de los casos donde las repetidas diagonal entradas no son conocidos por aparecer en bloques contiguos? Es posible para "ordenar" las entradas de la diagonal, de modo que los valores repetidos se agrupan mediante la aplicación de una secuencia de similitud de transformaciones que preservan superior triangularidad así como las multiplicidades (tanto algebraica y geométrica) de los autovalores.
Un esquema de una similitud de secuencia de transformación se da en el siguiente Ejemplo. La complejidad computacional es $O(n)$ por cada intercambio que se realiza.
Ejemplo (sugerido por loupblanc)
Considere la posibilidad de la $3\times 3$ matriz cuyos repetidos de la diagonal son las entradas no contiguas:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
Para probar la diagonalizability de la matriz, debemos comprobar si el algebraicas y geométricas de multiplicidades de todos los autovalores de acuerdo. Esto es necesario y suficiente para la existencia de una completa base de vectores propios, por lo tanto para diagonalizability.
La multiplicidad algebraica de un autovalor aquí es el número de veces que aparece en la diagonal. La multiplicidad geométrica es siempre al menos uno. Los valores que aparecen sólo una vez que no necesitan una verificación adicional, como las multiplicidades son tanto.
En el ejemplo a la mano, por lo tanto, estamos preocupados sólo con autovalor $\lambda = 1$ y la geometría de su multiplicidad. Esta es la nulidad de $A-\lambda I$:
$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Porque esto ya es triangular superior, estamos cerca de su escalonada:
$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & b-ac \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Por lo tanto la matriz de $A - \lambda I$ tiene rango uno si y sólo si $b-ac = 0$, de modo que la multiplicidad algebraica de $\lambda = 1$ (dos) está de acuerdo con la multiplicidad geométrica (nulidad a $ = 3 -$ rango) si y sólo si $b-ac$ es cero.
Estamos próximos a mostrar que la misma conclusión se puede llegar mediante la reorganización de las entradas de la diagonal en bloques contiguos. Comenzar por el intercambio de las dos últimas filas y las dos últimas columnas de la $A$:
$$ PAP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & b & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & c & 2 \end{bmatrix}$$
Esto crea un subdiagonal de la entrada, pero el $2\times 2$ bloque involucrados es similar a su transpuesta, que podemos mostrar explícitamente prevista la diagonal entradas hay diferente y fuera de la diagonal de la entrada es distinto de cero:
$$ \begin{bmatrix} 1 & \frac{w}{u-v} \\ \frac{w}{u-v} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u & w \\ 0 & v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u & 0 \\ w & v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{w}{u-v} \\ \frac{w}{u-v} & 0 \end{bmatrix} $$
Establecimiento $u=1,v=2,w=c$ y toma:
$$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{w}{u-v} \\ 0 & \frac{w}{u-v} & 0 \end{bmatrix}\; , S^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{u-v}{w} \\ 0 & \frac{u-v}{w} & -\left( \frac{u-v}{w} \right)^2 \end{bmatrix} $$
entonces tenemos una similitud de transformación de $S^{-1} P A P^{-1} S$ que ordena la diagonal entradas de $A$:
$$ S^{-1} P a P^{-1} S = \begin{bmatrix} 1 & b-ac & -bc \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$
Así llegamos de nuevo a la conclusión de la matriz $A$ es diagonalizable si y sólo si $b-ac=0$.
Una $n\times n$ matriz $A$ es diagonalizable si existe una completa base de vectores propios. Una propiedad equivalente es que para cada autovalor $\lambda$ el algebraicas y geométricas de multiplicidades de acuerdo, por lo que la geometría de multiplicidades (dimensiones de los subespacios propios de diversos $\lambda$) sume a $n$, como las multiplicidades algebraicas debe.
La multiplicidad algebraica de $\lambda$ es el número de veces que autovalor aparece en la diagonal de una triangular superior de la matriz. Así, la parte difícil de comprobar diagonalizability es la computación geométrica multiplicidad de $\lambda$.
El geométrica de la multiplicidad del autovalor $\lambda$ es la nulidad de $A - \lambda I$, porque esto es sólo una forma abreviada de decir la dimensión del subespacio propio correspondiente a $\lambda$.
Que ahora el estado y demostrar una proposición acerca de la igualdad de expresiones algebraicas y geométricas de la multiplicidad de los autovalores $\lambda$ de una triangular superior de la matriz $A$.
Prop. Supongamos que $n\times n$ triangular superior de la matriz $A$ ha autovalor $\lambda$ apareciendo $k \gt 1$ veces en lugares contiguos en la diagonal: $$ \lambda = d_i = \ldots = d_{i+k-1} $$ Then the nullity of $A - \lambda I$ is $k$ if and only if the super-diagonal entries $A_{j,m}$ son cero para todos: $$ i \le j \lt m \le i+k-1 $$
La nulidad de $A - \lambda I$ es la diferencia de $n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$, por lo que basta calcular si o no $\operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-k$.
Desde allí se $n-k$ cero entradas en la diagonal de $A-\lambda I$, y estos darán lugar a los líderes de la fila-forma escalonada de a $A-\lambda I$, el rango de $A-\lambda I$ al menos $n-k$.
El super-diagonal entradas de $A-\lambda I$ cero en los mismos lugares, como el super-diagonal entradas de $A$. Así, en el caso de que el $k\times k$ bloque correspondiente a las reiteradas diagonal valor de $\lambda$ tiene todos los super-diagonal entradas iguales a cero, el único líder en la fila de la forma escalonada de a $A-\lambda I$ corresponden a la $n-k$ cero diagonal entradas se señaló anteriormente.
Por otro lado, si cualquier super-diagonal entradas en el $k\times k$ bloque correspondiente a las reiteradas diagonal valor de $\lambda$ son cero, implica que al menos uno de los otros líderes en uno aparecerá en una fila entre las $i$ $i+k-1$ de la fila-forma escalonada de a $A - \lambda I$.
Por lo tanto, el rango de $A - \lambda I$ $n-k$ si y sólo si todos los super-diagonal entradas de la $k\times k$ bloque correspondiente a las reiteradas diagonal de la entrada $\lambda$ son cero. Entonces, la propuesta se ha establecido.
Cor. El algebraicas y geométricas de multiplicidades de todos los autovalores de a $A$ está de acuerdo, si y sólo si la condición descrita en la Proposición tiene para cada autovalor $\lambda$$A$. Si esto es cierto $A$ es diagonalizable, y no lo contrario.
Tenga en cuenta que la condición en la Proposición vacuously cierto para cualquier valor propio de multiplicidad uno, ya que no hay super-diagonal de entradas para comprobar.
Usted puede calcular más rápidamente su polinomio característico, por lo que su polinomio mínimo y la conclusión. Pero tenga en cuenta que $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ es triangular, pero no diagonalisable mientras que $B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ es triangular y diagonalisable, por lo que en todos estos casos, usted tendrá un poco de estudio a hacer.
@ hardmath ,para el punto 1, ¿cómo se puede hacer con la matriz $\begin{pmatrix}1&a&b\\0&2&c\\0&0&1\end{pmatrix}$?
Para el punto 2, vi tu enlace; contiene sólo directa de los puestos. Aquí tenemos una prueba de la siguiente manera: vamos a $A=\begin{pmatrix}P_p&Q&R\\0&J_q&S\\0&0&T_r\end{pmatrix}$ donde $P,J,T$ son matrices triangulares s.t. $J-I_q$ es nilpotent y $P-I_p,T-I_r$ es invertible. Si $[x,y,z]^T\in\ker(A-I_n)$$Px+Qy+Rz=x,Jy+Sz=y,Tz=z$; a continuación,$z=0,(J-I_q)y=0,x=(P-I_p)^{-1}Qy$. Finalmente, $dim(\ker(A-I_n))=dim(\ker(J-I_q))$ y hemos terminado.
EDICIÓN 1. Podemos hacer el mismo razonamiento con $((A-I)^2,(J-I)^2),((A-I)^3,(J-I)^3),\cdots$. Suponga que $P,T$ cada uno tiene un único autovalor $\lambda,\mu$ s.t. $\lambda,\mu,1$ son distintas; según el Jordán teoría, $A$ es similar a $diag(P,J,T)$.
EDICIÓN 2. @ hardmath , yo estaba leyendo. En el segundo punto, estamos de acuerdo. Por el contrario, no puedo escribir un procedimiento simple para resolver el primer punto. Por ejemplo vamos a $A$ ser un triangular $5\times 5$ matriz diagonal con $[1,0,1,0,1]$; si utilizamos la transposición $(2,5)$, entonces obtendremos la matriz de $B=\begin{pmatrix}1&a_{1,5}&a_{1,3}&a_{1,4}&a_{1,2}\\0&1&0&0&0\\0&a_{3,5}&1&a_{3,4}&0\\0&a_{4,5}&0&0&0\\0&a_{2,5}&a_{2,3}&a_{2,4}&0\end{pmatrix}$; hay $5$ cero los elementos por encima de la diagonal y el mismo número a continuación. Por otra parte el $3$ condiciones en que se expresa la diagonalizability, con respecto al autovalor $1$, vincular todas estas $10$ entradas de $A$...
Deje $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ ser los distintos valores propios de la $n\times n$ matriz $A$. Considerando $A$, antes o después de la permutación, se puede calcular el $rank(A-\lambda_jI)$, $j=1,\cdots,k$; cada cálculo se en $O(n^2)$; por lo tanto, si $k\approx n/3$ (por ejemplo), el total de la complejidad es en $O(n^3)$, que no es interesante. Creo que podemos hacer el trabajo en $O(n^2)$. Cómo probar que ?
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