Es bien sabido que cada bola abierta en un espacio de Banach es homeomorfa al espacio completo. ¿Podemos extender esto a los espacios vectoriales topológicos? En otras palabras, ¿cualquier conjunto abierto no vacío en un espacio vectorial topológico no discreto de Hausdorff contiene un conjunto que es homeomorfo al espacio entero? ¿Y si asumimos la convexidad local?
Respuesta
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Supongamos que el campo utilizado es $\mathbb R$ .
Los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff son Tychonoff . Así, para cualquier conjunto cerrado $C$ y cualquier punto $p\notin C$ existe una función continua que es cero en $C$ y $1$ en $p$ .
Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $V$ . Traduciendo podemos suponer que $0\in U$ . Sea $f:V\to \mathbb R$ sea una función tal que $f(0)=1$ y $f=0$ en $U^c$ (que está cerrado por definición). Sea $A=f^{-1}((0,\infty])$ . $A$ está abierto porque $f$ es continua y $A\subset U$ porque $f=0$ en $U^c$ . Además $0\in A$ . Para cualquier $x\in V$ definir $\varphi(x)=\max\{f(x),0\}$ y para cualquier $v\in A$ definir $F(v)=\int_0^v 1+ \frac{1}{\varphi(x)}dx$ donde la integral se hace a lo largo del segmento entre $0$ y $v$ . $F$ es continua con valores en $[0,\infty]$ . Definir $B=F^{-1}([0,\infty[)$ . $B$ es un subconjunto abierto de $A$ y contiene $0$ .
Definir $g(x)=xF(x)$ . Demostramos que se trata de una homeo entre $B$ y $V$ . Primero hay que tener en cuenta que $g(0)=0$ y $g$ es continua porque $F$ es. Además, $F$ es monótona en las semilíneas porque en $B$ tenemos $\varphi=f$ y $1/f(x)>0$ .
Esto implica inmediatamente que $g$ es inyectiva.
Por último, veamos que $g$ está en. Para cualquier $v\in V$ o bien $\mathbb R_+v\in B$ o hay $\lambda>0$ tal que $\lambda v\in B$ (porque $B$ está abierto). En ambos casos $F(B\cap \mathbb R_+v)=[0,\infty)$ por lo que hay $v'\in\mathbb R_+\cap B$ tal que $v'F(v')=v$
