Cómo comparar los valores de $\sqrt 2$ $\ln(3).$

Question

Cómo comparar los valores de $\sqrt 2$ $\ln(3)?$ sólo sé que $\ln(x)<x$$\sqrt{x}<x$. Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

"Argumento" 1

Cálculo: $\sqrt{2}\approx 1.41421356237$ (fuente) y $\ln(3) \approx 1.09861228867$ (fuente)

No hay manera de aritmética de punto flotante es que inexactos, por lo que el deseado desigualdad es verdadera directa de la computación. :)

Pero ten cuidado con la aritmética de punto flotante cuando usted desea a altos niveles de precisión!

$python
>>> .1 + .2 == .3
False
>>> .1 + .2
0.30000000000000004

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Argumento 2

Seguro que podemos hacer algo mejor que una caja negra de la calculadora. Motivados por cómo una calculadora podría llevar a cabo un cálculo directo, se argumenta a través de la aproximación numérica ...

Como la función exponencial es la monotonía, la comparación es equivalente a la comparación de $e^{\sqrt{2}}$$3$. El número de $3$ es fácil de calcular, así que nos centramos en el lado izquierdo de la ecuación. De la calculadora, tenemos la sospecha de que $e^\sqrt{2} > 3$, lo que nos lleva a truncar la exponencial de la serie: \begin{align*} e^\sqrt{2} &= 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2!}\sqrt{2}^2 + \frac{1}{3!}\sqrt{2}^3 + \cdots \\ &\geq 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2}^2 \\ &= 2 + \sqrt{2} \\ &> 2 + 1 \\ &= 3 \end{align*}

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Argumento 3

Motivado por representar gráficamente las funciones: La raíz cuadrada empieza por delante del logaritmo y no mirar hacia atrás -- no sólo es mayor, su tasa de crecimiento es también mayor, por lo que podemos razón de sus derivados.

Deje $F(x) = \sqrt{x}$$G(x) = \ln(1+x)$. Observe que ambas funciones son suaves en $(0,\infty)$ $$F(x) = \int_0^x\frac{1}{2\sqrt{t}}\ dt$$ y $$G(x) = \int_0^x \frac{1}{t+1}\ dt $$ Ahora observar que $$ 2\sqrt{t} \leq t+1 $$ con la igualdad logrado en $t=1$ $2\sqrt{t}$ es cóncava hacia abajo y la función de $t\mapsto t+1$ es la ecuación de la recta tangente a $2\sqrt{t}$$t=1$.

Por lo tanto, $\frac{1}{2\sqrt{t}} \geq \frac{1}{t+1} > 0$ todos los $t>0$. Como la integración de funciones positivas conserva la desigualdad, tenemos $F(x) \geq G(x)$ todos los $x>0$. En particular, $F(2) \geq G(2)$, lo $\sqrt{2}\geq \ln(3)$.

Answer 2

Con un simple cálculo numérico podemos mostrar a $\ln(3)< \frac75<\sqrt2$.

En primer lugar calcular $e^{7/5}$ mediante la expansión de la serie para la función exponencial.

Tomando sólo tres términos de la serie: $e^{7/5}> 1+ 7/5 + 7^2/(2!5^2)=169/50>3$ Esta muestra natural de registro para 3 es menor que 7/5.

Ahora $7^2/5^2=49/25<2$ Y hemos terminado.

Answer 3

El truco es mirar a $f(x) = \sqrt{x} - \ln(1+x)$.

Tenga en cuenta que para $x = 1$,

$$1 - \ln(2) > 0$$

Esto es cierto ya que $\ln(x)$ es una función creciente y $1 < 2 < e$ implica

$$0 = \ln(1) < \ln(2) < \ln(e) = 1$$

Ahora veamos la derivada

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x+1}$$

Nos gustaría mostrar que $f'(x) \ge 0$$x > 1$, lo que significa que $f(x)$ es creciente y por lo tanto debe ser positivo para $x > 1$ (puesto que ya es positivo en $x=1$ por encima).

Considere las siguientes desigualdades equivalentes (al $x > 1$):

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x+1} &\ge& 0\\ \frac{1}{2\sqrt{x}} &\ge& \frac{1}{x+1}\\ x + 1 &\ge& 2\sqrt{x} \end{eqnarray}$$

Para la última desigualdad, $1+1 = 2 = 2\sqrt{1}$$x > 1$, teniendo los derivados de la contra muestra que el lado izquierdo crece a una tasa de $1$ y el lado derecho crece a la tasa de $\frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} < 1$ al $x > 1$.

Así, la última equivalente desigualdad se cumple para $x > 1$, lo que implica $f'(x) \ge 0$$x > 1$, lo que implica $f(x)$ es positivo para $x > 1$. En particular, $f(2) = \sqrt{2} - \ln(3) > 0$. Por lo tanto,$\sqrt{2} > \ln(3)$.

Answer 4

Por el Cauchy-Schwarz desigualdad

$$ \log(3) = \int_{0}^{2}\frac{dx}{1+x}\leq \sqrt{\int_{0}^{2}\frac{dx}{(1+x)^2}\int_{0}^{2}dx}=\frac{2}{\sqrt{3}}\tag{1}$$ y trivialmente $\frac{2}{\sqrt{3}}<\sqrt{2}$, por lo tanto $\color{red}{\log(3)<\sqrt{2}}$.
La misma aproximación muestra que para cualquier $t>0$ hemos $$ \log(t+1) < \frac{t}{\sqrt{t+1}}\tag{2} $$ $$ \log(t+1) < \frac{2\sqrt{t+1}-2}{(t+1)^{1/4}}\tag{3} $$ y las desigualdades son bastante ajustados si $t$ es cercana a cero.
Por ejemplo, $(3)$ inmediatamente demuestra $\color{red}{\log(4)<\sqrt{2}}$.