¿Cómo puedo evaluar $\int \limits_{-\infty}^{a} e^{−t^2}dt$?

Question

Yo sé que

$$I \equiv \int \limits_{-\infty}^\infty e^{−t^2} \, dt=\sqrt{\pi},\text{ and }\int \limits_{-\infty}^0 e^{−t^2} \, dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Sin embargo, no entiendo si (o cómo) puedo encontrar una solución similar para $\int \limits_{-\infty}^{a}e^{−t^2}dt, a \neq 0$, dado que la función de error de hecho no produce soluciones de forma cerrada.

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Desde $e^{-t^2}$ es una función par, y ya que usted sabe $\int_{-\infty}^{\infty}$, si fueron capaces de encontrar $\int_{-\infty}^b$, entonces usted será capaz de encontrar $\int_a^b$ cualquier $a,b \in \mathbb{R}$. El hecho de que $e^{-t^2}$ no tiene primaria primative debe sugerir a usted que probablemente usted no puede encontrar $\int_a^b$ explícitamente.

Como Un estudiante de nivel (reino unido 16-18 pre-universitario), siempre me he preguntado por qué hemos tenido que utilizar una tabla de distribución normal de los valores para obtener el aproximado de probabilidades. Ahora sé que la función de densidad de probabilidad es, básicamente, un estira y la versión traducida de $e^{-t^2}$.

Alimento para el pensamiento: el logaritmo natural, $\ln x$, tiene una parte integral de la definición:

$$ \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t} $$

debido a $t^{-1}$ no se conoce ningún primitivo, sin embargo, llamamos a $\ln x$ elemental de la función, mientras que $\text{erf} \, x$ no lo es.

Answer 2

$$ \int_{-\infty}^\exp(-t^2)\, \text dt = \\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}+\int_0^a\exp(-t^2)\, \text dt=\\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}+\int_0^a\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \, \text dt =\\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n^{2n+1}}{n!(2n+1)} $$

Usted puede utilizar esto para calcular la integral con la suficiente precisión (como GEdgar se menciona, sin embargo, esta suma converge bien al$a \approx 0$, pero mucho más lento al $a$ es grande). Como se ha mencionado, no simples "forma cerrada" para esta integral existe.

Por ejemplo, podemos aproximar $\int_{-\infty}^1 \exp(-t^2)\, \text dt$ con un truncado (6 términos) de la serie:

$$\int_{-\infty}^1 \exp(-t^2)\, \text dt =1.63305\cdots \aprox \frac{\sqrt{\pi}}{2}+\sum_{n=0}^6 \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}=1.66306\cdots$$

Ver también este artículo para obtener más estrategias.

Answer 3

En la teoría de la probabilidad, a veces, es posible definir una función $\Phi$ como esta (referencia) el Tuyo es un simple cambio de variables, derecho?