El doble de la Suma con un buen Resultado

Question

Basado en una pregunta interesante aquí (segunda pregunta), he ideado una similar.

Evaluar la siguiente suma doble sin expansión y sustitución de la norma de suma de enteros fórmula.

$$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (n-x+y)$$

Answer 1

Últimos dos sumas son iguales en la primera línea:$$\begin{array}{}\displaystyle\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n(n-x+y)&\displaystyle\vphantom{\cfrac11}=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^nn&\displaystyle-\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^nx&\displaystyle+\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^ny\\\vphantom{\cfrac11}&\displaystyle=n\sum_{x=1}^n1\sum_{y=1}^n1\\\vphantom{\cfrac11}&\displaystyle=n\cdot n\cdot n\\&=n^3\end{array}$$

Answer 2

$$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (n-x+y)$$ $$=\sum_{x=1}^n\left(\sum_{y=1}^nn-\sum_{y=1}^nx+\sum_{y=1}^ny\right)$$ $$=\sum_{x=1}^n\left(n\cdot n-n\cdot x+\sum_{y=1}^ny\right)$$ $$=\sum_{x=1}^nn\cdot n-\sum_{x=1}^nn\cdot x+\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^ny$$ $$=n\cdot n\cdot n-n\cdot\sum_{x=1}^n x+n\sum_{y=1}^ny$$ $$=n\cdot n\cdot n\underbrace{-n\cdot\sum_{k=1}^n k+n\sum_{k=1}^nk}_\text{Change in index does not change the scenario}$$ $$=n^3$$

Hará esto? O se trata de una expansión?

Answer 3

Por simetría, el doble de las sumas en $x$ $y$ son iguales y cancelar, por lo tanto $n^3$.

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Más corto, pero un poco más confuso:

$$\bar n+\bar x-\bar y=n\to n^3.$$

Answer 4

Aquí está una manera ligeramente diferente. En primer lugar, podemos reescribir la suma como: $$\sum_{x=1}^{n} \sum_{y=1}^{n} (n-x+y) = \sum_{(x,y)\in\{1,\dots,n\}^2} (n-x+y) \enspace,$$ con el significado usual de $A^2$ como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de las $A$. A continuación, se observa que para $x\neq y$, la suma de los dos términos correspondientes a los pares de $(x,y)$ $(y,x)$ es: $$(n-x+y) + (n-y+x) = 2n$$ Por lo tanto, podemos pensar de cada uno de los dos pares de contribuir $n$ a la suma. Para $x=y$, el término correspondiente a $(x,y)$ es sólo $n$.

Conclusión: cada pareja contribuye $n$ a la suma, por lo que la suma es $n^2\cdot n= n^3$.

Answer 5

$$\begin{align} S&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (n-x+y)\\ &=\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^n (n+r-y) &&\scriptsize (r=n+1-x, s=n+1-y)\\ &=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n(n+x-y) &&\scriptsize\text{(or directly, by symmetry)}\\ 2S&=\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n (n-x+y)+(n+x-y)\\ &=2\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n n\\ S&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n n\\ &=\color{red}{n^3}\end{align}$$