Conjunto de expresiones cuadráticas $nx^2+m$ cuya unión son todos los enteros?

Question

¿Existe un conjunto de ecuaciones cuadráticas cuya unión es igual a los enteros de conteo (1,2,3,4...) pero todos los pares de intersecciones están vacíos. Un ejemplo de ecuaciones lineales que satisfacen esto es simplemente:

$$ \begin{align*} S_1 &= \{1,3,5,7,\ldots,2n+1\}\\ S_2 &= \{2,4,6,8,\ldots,2n+0\}\\[0.2in] S_1 \cup S_2 &= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots\}\\ S_1 \cap S_2 &= \varnothing \end{align*}$$

Es fácil construirlas para funciones lineales, pero ¿es imposible hacer lo mismo para funciones de la forma $f_{mn}(x)=nx^2+m$ ?

Answer 1

Propuesta: Dejemos que $c\ne 0$ sea un número entero cualquiera. Entonces existe un multiplicador $B\ge 1$ tal que $(Bn)^2+c$ nunca es un cuadrado (incluido $0$ ) para cualquier $n\ge 1$ .

Prueba : Sólo hay un número finito de formas de escribir $c$ como el producto de dos enteros. Elija $B$ para que $2B$ supera la diferencia máxima entre los factores complementarios de $c$ . Entonces $(m-Bn)(m+Bn) = c$ no tiene soluciones enteras con $n\ge 1$ .

Lema: Dejemos que $A$ sea cualquier conjunto finito de números enteros, y $c \ne A$ . Existe un $B\ge 1$ tal que el conjunto $\{(Bn)^2+c: n > 0\}$ es disjunta de la unión de las progresiones cuadráticas $\{ n^2 + a : n \ge 0, a \in A \}$ .

Prueba : Aplicar la proposición a cada valor $c-a$ y tomar $B$ para ser el LCM de todos los multiplicadores (finitos) así obtenidos.

Teorema: Existe una secuencia infinita $(B_k, c_k) : k \ge 0$ con $B_k > 0$ tal que las progresiones cuadráticas $\{ B_k n^2 + c_k : n \ge 0 \}$ forman una partición de $\mathbb N$ .

Prueba : Comience con $(B_0,c_0) = (1,1)$ . Procedemos de forma inductiva: supongamos que $(B_k, c_k)$ han sido elegidos para todos $k<m$ . Según el comentario de Steven Stadnicki, existe un mínimo elemento de $\mathbb N$ aún no está cubierto: llámalo $c$ . Necesariamente, $c \ne c_k$ para cualquier $k<m$ . Ahora elija $c_m = c$ y $B_m$ según el lema (utilizando $A = \{c_0,\ldots,c_{m-1}\}$ ). Por construcción $\{ B_m n^2 + c_m : n > 0 \}$ es disjunta de todas las progresiones anteriores, y también $\{ B_m n^2 + c_m : n = 0 \}$ es disjunta por la elección de $c$ . Así, podemos construir una secuencia infinita $(B_k,c_k)$ de esta manera. Por último, es seguro que esto cubrirá todos los $\mathbb N$ ya que elegimos $c$ mínimamente, para que la primera $m$ las progresiones cubren necesariamente $\{1,\ldots,m\}$ .

Answer 2

Este es el esquema de una prueba de que existe un conjunto contable de cuadráticas que divide todos los enteros. Hay un par de pequeños agujeros, pero creo que la idea debería funcionar.

La idea central es construir dicha partición secuencialmente, añadiendo un nuevo cuadrante $f_{n}(x)=a_nx^2+b_n$ mientras se asegura de que no hay forma posible de que comparta ningún elemento de su rango con los cuadráticos anteriores.

En concreto, empieza con $a_1=3, b_1=1$ y la cuadrática $f_1(x)=3x^2+1$ entonces el rango de $f_1$ es $S_1=\{1, 13, 28, \ldots\}$ y su complemento es $C_1=\{2, 3, 4, 5, \ldots\}$ .

Ahora, en cada paso $n$ elegiremos $b_n$ para ser el valor más pequeño de $C_{n-1}$ ; obsérvese que esto asegura por inducción que el miembro más pequeño de $C_n$ es $\gt n$ y por lo tanto que cada número caerá en algún $S_i$ .

Para asegurarnos de que no intersecamos ninguna de nuestras cuadráticas ya existentes, tenemos que asegurarnos de que nunca tenemos $a_nx^2+b_n=a_iy^2+b_i$ para cualquier $i\lt n$ y cualquier número entero $x,y$ . Pero esto es lo mismo que la ecuación $a_nx^2=(b_i-b_n)+a_iy^2$ . Nótese que esto implica que $a_nx^2\equiv (b_i-b_n)\pmod {a_i}$ . Pero ahora, si $\gcd(a_n, a_i)=1$ (y podemos asegurarlo; de hecho, podemos asegurar que $a_n$ es primo para todo $n$ ) entonces esto es lo mismo que $x^2\equiv a_n^{-1}(b_i-b_n)\pmod{a_i}$ En otras palabras, $a_n^{-1}(b_i-b_n)$ es un residuo cuadrático. Pero hay residuos cuadráticos no -residuos módulo de cada primo - por lo que si elegimos $a_n$ tal que $a_n^{-1}(b_i-b_n)$ es un no-residuo cuadrático mod $a_i$ entonces podemos estar seguros de que las cuadráticas $a_nx^2+b_n$ y $a_ix^2+b_i$ nunca cubrirá el mismo número entero. (Aquí es donde está el agujero: podemos tener $b_n\equiv b_i\pmod {a_i}$ para que $(b_i-b_n)\equiv 0$ y no hay forma de multiplicar para obtener un no-residuo cuadrático. Pero creo que una selección un poco más inteligente de la $a_i$ debería poder cubrir este vacío).

Ahora bien, esto sólo define $a_n$ (en sentido estricto, $a_n^{-1}$ ) modulo $a_i$ pero por el teorema chino del resto (junto con el hecho de que hemos elegido todos los $a_i$ sea primo), podemos elegir $a_n$ para satisfacer las congruencias modulo todas $a_i$ para $i\lt n$ simultáneamente - y por el teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas, podemos elegir $a_n$ no sólo para satisfacer las congruencias, sino también para ser primo en sí mismo. Esto nos permite continuar con la siguiente $n$ en nuestra iteración, y (en el límite) cubrir todos los números naturales disjuntos.