Motivados por Gautschi doble desigualdad, $$ \frac{n^{s}}{n^{\small1}}\ge\frac{\Gamma(n+s)}{\Gamma(n+1)}\ge\frac{(n+1)^{s}}{(n+1)^{\small1}}\ge\frac{\Gamma(n+1+s)}{\Gamma(n+1+1)}\ge\,\cdots \quad\colon\,0\lt{s}\lt1\tag{1} $$ A partir de la principal definición de la función zeta, $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\,\,\,\colon\,Re\{s\}\gt1 \space\Rightarrow\space \zeta(1-s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{s}}{n^{\small1}} \qquad\colon\,Re\{s\}\lt0\tag{2} $$ Y la suma de la identidad de la función gamma, $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(n+s)}{n!}=0 \quad\Rightarrow\quad \Gamma(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Gamma(n+s)}{\Gamma(n+1)} \qquad\colon\,Re\{s\}\lt0\tag{3} $$
Cómo Demostrar, Refutar, o Justificar: $$ \zeta(1-s)+\Gamma(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\,\frac{n^{s}}{n^{\small1}}-\frac{\Gamma(n+s)}{\Gamma(n+1)}\,\right] \qquad\qquad\colon\,0\lt{s}\lt1\tag{4} $$ Es si se extiende a complejo plan de $\,s\in\mathbb C\,$ dentro de la crítica de la tira de $\small 0\lt Re\{s\}\lt1\,$ ?
"Por la monótona decreciente comportamiento de la desigualdad, el resultado de restar de los dos divergentes de la serie converge un paso hacia adelante, cubriendo la crítica de la tira!"
