Supongamos $x$ $y$ son ángulos medidos en radianes. Entonces, ¿cómo demostrar que la ecuación $$\sin x+\sin y=1$$ no tiene una solución de $(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$?
Esta pregunta se le pide por la curiosidad. No tengo ninguna idea de cómo puede ser abordado.
No, y ni siquiera hay una solución para $(x,y)\in\mathbb Q\times \mathbb Q$.
Que rápidamente puede excluir $x=y$, lo que requeriría que el $\sin x=\frac12$, pero eso sólo es cierto para $x=n\frac{\pi}{6}$ para ciertos distinto de cero enteros $n$, y ninguno de estos producen una racional. Del mismo modo podemos excluir fácilmente $x=0$, $y=0$, o $x=-y$.
Ahora, usando la fórmula de Euler, escribir la ecuación para $$ \tag{*} e^{ix} + e^{iy} - e^{-ix} - e^{-iy} = 2i\cdot e^0 $$ y aplicar la Lindemann–Weierstrass teorema de que en una formulación dice que las exponenciales de los distintos números algebraicos son linealmente independientes sobre los números algebraicos. Pero $\{\pm ix,\pm iy,0\}$ son todos algebraicas y (por nuestros supuestos hasta ahora) diferentes, por lo $\text{(*)}$ sería uno de los lineales de las relaciones que no pueden existir.
Este argumento se generaliza para mostrar que la única algebraica de números que se pueden escribir como una combinación racional de los senos de la algebraicas (radian) los ángulos es $0$.
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