Cómo demostrar a $\frac xy + \frac yx \ge 2$

Question

Estoy practicando un poco de tarea y estoy perplejo.

La pregunta te pide demostrar que

$x \in Z^+, y \in Z^+$

$\frac xy + \frac yx \ge 2$

Así que empecé por probar que esto es cierto cuando x y y tienen la misma paridad, pero no estoy seguro de cómo proceder, cuando x e y se han opuesto partiy

Esta es mi prueba hasta el momento para el otro paridad

$x,y \in Z^+$ $|$ $x \gt 0,$ $y \gt 0$. Deje x ser incluso $(x=2a,$ $a \in Z^+)$ y y ser impar $(y=2b+1,$ $b \in Z^+)$. A continuación,

$\frac xy + \frac yx \ge 2$

$\frac {2a}{2b+1} + \frac {2b+1}{2a} \ge 2$

$\frac {2b^2 + 4a^2 + 4a + 1}{2b(2a+1)} \ge 2$

$4b^2 + 4a^2 +4a + 1 \ge 4b(2a+1)$

$4b^2 + 4a^2 + 4a +1 \ge 8ab + 4b$

$4b^2 - 4b + (2a + 1)^2 \ge 8ab$

$(2b-1)^2 + 1 + (2a+1)^2 \ge 8ab$

Siento que esta no es la manera correcta de ir sobre la prueba, pero no puedo pensar en una mejor manera de hacerlo. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Sólo sugerencias por favor, no una solución.

Answer 1

Claramente $(x-y)^2 \geq 0$

Por lo $x^2-2xy+y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2xy$

Desde $x$ $y$ son enteros positivos , $x \neq 0$$y \neq 0$.

Por lo tanto podemos dividir por $xy$.

Así que tenemos $\frac{x^2+y^2}{xy} \geq \frac {2xy}{xy} \Rightarrow \frac {x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$.

Answer 2

Sugerencia: Considere la posibilidad de multiplicar ambos lados de la desigualdad con $xy$, lo cual es positivo. Entonces, tenemos: $$\frac xy + \frac yx \ge 2\\ x^2+y^2\ge 2xy$$ Puede usted ir?

Answer 3

$$(x-y)^2\geq0$$

$$\begin{array}{l}x^2-2xy+y^2\geq0\\x^2+y^2\geq2xy\\\frac{x^2+y^2}{xy}\geq2\\\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}\geq2\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2\\QED\end{array}$$

Esto funcionará para $x,y\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$

Answer 4

Para cada $a$$(a-1)^2\geq 0$, lo $a^2+1\geq 2a$.

Si $a>0$$a+\frac 1a\geq 2.$$a=\frac xy$.

Answer 5

Si $x=y,$, entonces es cierto.

Supongamos $x>y$, entonces no es, existe un número entero positivo $n$ tal que $x=y+n.$

Esto implica $\frac{x}{y}=1+\frac{n}{y}$$\frac{y}{x}=1-\frac{n}{x}$.
La adición de estas ecuaciones, obtenemos $$\begin{align} \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=2+n\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)=2+n\frac{x-y}{xy}> 2\quad as\quad x>y. \end{align}$$