¿Cuántos triángulos en esta imagen:
Respuestas
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Pueden ser contados con bastante facilidad mediante la sistemática de la fuerza bruta.
Todos los triángulos son isósceles el triángulo recto; voy a llamar al vértice opuesto a la hipotenusa el pico del triángulo. Hay dos tipos de triángulos:
- triángulos cuya hipotenusa se encuentra a lo largo de un lado de la plaza;
- triángulos cuyas piernas de ambos se encuentran a lo largo de los lados de la plaza y cuyos picos están en las esquinas de la plaza.
Los triángulos del segundo tipo son fáciles de contar, cada rincón es el pico de $4$ triángulos, por lo que hay $4\cdot4=16$ triángulos.
Los triángulos del primer tipo son casi tan fácil de contar. Voy a contar a aquellos cuyas hipotenusas se encuentran a lo largo del borde inferior de la plaza y, a continuación, que se multiplican por $4$. Un triángulo debe tener una hipotenusa de longitud $1,2,3$ o $4$. No $4$, con una hipotenusa de longitud $1$, $3$ con hipotenusa de longitud $2$, $2$ con hipotenusa de longitud $3$, y uno con la hipotenusa de longitud $4$, para un total de $10$ triángulos cuyos hyponenuses encuentran a lo largo de la base del cuadrado. Multiplicar por $4$ a cuenta de todos los $4$ lados, y usted consigue $40$ triángulos del segundo tipo y $40+16=56$ triángulos en total.
Agregado: Este enfoque se generaliza bastante bien para cuadros grandes: el correspondiente diagrama con un cuadrado de lado a $n$ tienen $4n$ triángulos del primer tipo y $$4\sum_{k=1}^nk=4\cdot\frac12n(n+1)=2n(n+1)$$
del segundo tipo, para un total de $2n^2+6n=2n(n+3)$ triángulos.
Jithesh Kt
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