$\wedge^k(V)^* \cong \mathrm{Alt}^k(V)$

Question

Deje $V$ ser finito dimensionales real de espacio vectorial, vamos a $\mathrm{Alt}^k(V)$ denotar el espacio de alternando $k$-lineal de las formas en $V$ y deje $\wedge^k(V)$ el valor del $k^{th}$ potencia exterior de $V$. Estoy tratando de ver por qué el dual algebraico $\wedge^k(V)^* := (\wedge^k(V))^*$ es isomorfo a $\mathrm{Alt}^k(V)$. Aquí están mis pensamientos:

Por la característica universal de la potencia exterior, para cualquier alternando $k$-forma lineal $f$ con el dominio $V^k$ existe una única forma lineal $\phi$ dominio $\wedge^k(V)$ tal que $$ \phi(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = f(v_1, \dots, v_k). $$ El universal de este modo, la propiedad proporciona un mecanismo para producir elementos en $\wedge^k(V)^*$ a partir de los elementos en $\mathrm{Alt}^k(V)$ e este mecanismo de producción es único.

Por lo tanto, tenemos una inyección $$ \Phi: \mathrm{Alt}^k(V) \longrightarrow \wedge^k(V)^* $$

Lo que no estoy seguro es de cómo argumentar surjectivity; ¿cuál es la mejor manera de abordar esto?

Answer 1

La canónica mapa de $\psi\colon V^k \to \bigwedge^k V$ $\psi(v_1, \ldots, v_k) = v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ es alterna. Si usted tiene un elemento $g \in (\bigwedge^k V)^*$ $g \circ \psi\colon V^k \to \mathbf R$ es también la alternancia, y creo que esta asignación $g \mapsto g \circ \psi$ le da una inversa de a $\Phi$.

Esto es más sencillo de lo que podría miedo, y tiene poco que ver con el terreno de anillo o de la finitud de $V$. Y tal vez deberíamos esperar que, dado que la característica universal de $\bigwedge^k V$ más o menos dice que representa el functor $W \mapsto L^k_a(V, W)$.

Extra problemas y las hipótesis parecen entrar una vez intente escribir cosas tales como un isomorfismo $(\bigwedge^k V)^* \approx \bigwedge^k (V^*)$, una incrustación $\bigwedge^k V \hookrightarrow V^{\otimes k}$, o la cuña producto inducida en la alternancia de las formas. Algunos ejemplos de esto se discuten en la parte de atrás de Fulton y Harris.