¿Qué ocurre con la suma de estas dos series?

Question

Podría alguien ayudarme a encontrar el error en el siguiente problema? Basado en la fórmula de la suma de una serie geométrica: \begin{ecuación} 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1 - x} \end{ecuación} \begin{ecuación} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \cdots + \frac{1}{x^{n}} + \cdots = \frac{1}{1 - 1/x} = \frac{x}{x-1} \end{ecuación} La adición de las dos ecuaciones \begin{ecuación} 2 + x + \frac{1}{x} + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \cdots + x^{n} + \frac{1}{x^{n}} + \cdots = \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{x-1} = \frac{1-x}{1-x} = 1 \end{ecuación} Así, \begin{ecuación} 2 + x + \frac{1}{x} + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \cdots + x^{n} + \frac{1}{x^{n}} + \cdots = 1 \end{ecuación} Y el lado izquierdo es siempre más grande que $2$ para $x>0$.

Lo que está mal?? Gracias de antemano

Answer 1

La primera serie sólo aplica cuando |x| $ < 1$ mientras que la segunda serie aplica únicamente cuando $\left|\frac{1}{x}\right| < 1$ (es decir, $|x| > 1$). Por añadirlos, están asumiendo que ambas se aplican simultáneamente, pero no es así (para cualquier $x$).

Answer 2

Los dominios de la convergencia de estas dos secuencias no coinciden. Uno converge para $|x| > 1$ y otro de $|x| < 1$. Por lo tanto, la suma es sin sentido.