La secuencia como está escrito no tiene sentido, ya que el último término no siguen el patrón de las anteriores. Sin embargo, se puede argumentar que
$$p - \left(\frac{p-1}{2}\right) \equiv -\frac{p-1}{2}\pmod{p}.$$
Este no sigue el mismo patrón que el resto de los términos.
Y ya
$$p - \frac{p-1}{2} = \frac{2p-p+1}{2} = \frac{p+1}{2}$$
entonces usted tiene que
$$\frac{p+1}{2}\equiv -\frac{p-1}{2}\pmod{p},$$
por lo tanto $\frac{p-1}{2}\equiv -\frac{p+1}{2}\pmod{p}$.
O peharps, fue así:
\begin{align*}
p-1 &\equiv -1\pmod{p}\\
p-2 &\equiv -2 \pmod{p}\\
&\vdots\\
\frac{p-1}{2} = p-\left(\frac{p+1}{2}\right) &\equiv -\frac{p+1}{2}\pmod{p}
\end{align*}
y usted tiene la señal equivocada en el numerador del lado derecho?
Añadido. Así, el resto de la prueba. De acuerdo a los análisis Sivaram ha publicado, este fue parte del cálculo de $\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2$. La idea entonces es que podemos conseguir a $\left(\frac{p-1}{2}\right)!$ multiplicando los términos en el lado derecho, y a continuación, obtener de nuevo por la multiplicación de los términos en el lado izquierdo. Es decir, nos fijamos en
\begin{align*}
p-1 &\equiv -1 \pmod{p}\\
p-2 &\equiv -2 \pmod{p}\\
&\vdots\\
p-\left(\frac{p-1}{2}\right) &\equiv -\frac{p-1}{2}\pmod{p}
\end{align*}
y tenga en cuenta que si $p\equiv 3\pmod{2}$, entonces tenemos un número impar de signos negativos en el lado derecho. Así tenemos que:
$$(-1)\left(\frac{p-1}{2}\right)! = (-1)\Bigl(1\times 2\times\cdots\times \frac{p-1}{2}\Bigr) \equiv (p-1)(p-2)\cdots\left(p - \frac{p-1}{2}\right)\pmod{p}.$$
Ahora, $p - \frac{p-1}{2} = \frac{p+1}{2} = \frac{p-1}{2}+1$. Por lo tanto, tenemos que:
\begin{align*}
\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2 &= \left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(\frac{p-1}{2}\right)!\\
&\equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!\Biggl( -(p-1)(p-2)\cdots\left(\frac{p-1}{2}+1\right)\Biggr)\pmod{p}\\
&\equiv -\left(1\times 2\times 3\times\cdots\times\left(\frac{p-1}{2}\right)\times\left(\frac{p-1}{2}+1\right)\times\cdots\times (p-1)\right)\pmod{p}\\
&\equiv -(p-1)!\pmod{p}.
\end{align*}
Pero sabemos que $(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ por Wilson del Teorema, por lo que
$$\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2 \equiv -(p-1)!\equiv -(-1) = 1\pmod{p},$$
así que si dejamos $x = \left(\frac{p-1}{2}\right)!$,$x^2 \equiv 1 \pmod{p}$. Esto significa que $p|x^2-1 = (x-1)(x+1)$, lo $p|x-1$ o $p|x+1$. es decir, eithe $x\equiv 1 \pmod{p}$ o $x\equiv-1\pmod{p}$; dando:
$$\text{either }\left(\frac{p-1}{2}\right)!\equiv -1\pmod{p}\quad\text{or}\quad \left(\frac{p-1}{2}\right)!\equiv 1\pmod{p}.$$
Alguna idea? 
