a_n converge más lentamente, a continuación, b_n si existe un x tal que para todo m>x, a_m>b_m, y tanto la suma de a_n y suma b_n converge para n=1 a n=inf.
Ignorando factores constantes, que tipo de función converge el más lentamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay una función de este tipo! Walter Rudin en sus "Principios de Análisis Matemático" tiene una serie de ejercicios tratando de indicar que no hay ninguna función en la "frontera" entre la convergencia y la divergencia.
Hay una interesante serie de respuestas sobre este asunto en MathOverflow (MO): http://mathoverflow.net/questions/49415/nonexistence-of-boundary-between-convergent-and-divergent-series
Una forma rápida de ver que no hay "más lento" convergente la serie es Rudin del ejercicio 12.b, que se menciona en el enlace de arriba: Si $\sum a_n$ converge, y el $a_n$ son positivos, $\sum a_n/\sqrt {r_n}$ converge, donde $r_n$ es la cola $\sum_{i\ge n}a_i$. Nota:$r_n\to 0$, lo $a_n/\sqrt{r_n}>a_n$ $n$ lo suficientemente grande.
Le recomiendo que eche un vistazo a las respuestas a la MO y en las referencias que sugieren, por más sutil ejemplos.
