Demuestre por inducción que $2!4!6!...(2n)! \geq ((n+1)!)^n$

Question

Demuestre por inducción que $2!4!6!...(2n)! \geq ((n+1)!)^n$

Me quedé en $((n+1)!)^n (2(n+1))! \geq ((n+1+1)!)^{n+1}$ pero no puedo pasar al siguiente paso

Sería estupendo que alguien pudiera demostrar cómo resolver este problema. Gracias

Answer 1

Supongamos que $\prod_{i=1}^n (2i)! \ge ((n+1)!)^n$ .

Entonces $$\prod_{i=1}^{n+1} (2i)! = \left((2n+2)!\right)\prod_{i=1}^{n} (2i)! \ge \left((2n+2)!\right)((n+1)!)^n = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!} ((n+1)!)^{n+1}$$

Ahora, ¿puede ver por qué $\frac{(2n+2)!}{(n+1)!} \ge (n+2)^{n+1}$ ?

Sugerencia : ¿Cuántos términos hay en cada uno? ¿Cuál es la relación entre cada término del producto de la izquierda y cualquier término del producto de la derecha?

Answer 2

Para demostrar $$ \prod_{i=1}^{n+1}(2i)!\ge((n+2)!)^{n+1} \tag{1}$$ necesitas usar directamente tu suposición $$ \prod_{i=1}^{n}(2i)!\ge((n+1)!)^n.$$ De hecho, hay que tener en cuenta que $(1)$ equivale a $$ \prod_{i=1}^{n}(2i)!\cdot(2n+2)!\ge((n+1)!)^n\cdot(n+2)^n\cdot(n+2),$$ por lo que está implícito en $$ (2n+2)!\ge(n+2)^{n+1} \\ (n+1)!\cdot\underbrace{(n+2)(n+3)(n+4)\ ... (2n)(2n+1)(2n+2)}_{n+1 \ \text{factors}}\ge\underbrace{(n+2)(n+2)\ ... (n+2)}_{n+1 \ \text{factors}}. $$ Por lo tanto, si dejamos que $\displaystyle k=\frac{\prod_{i=2}^{n+2}(n+i)}{(n+2)^{n+1}}>1$ dividiendo ambos lados por $(n+2)^{n+1}$ obtenemos $$k(n+1)! \ge 1,$$ lo que obviamente es cierto para cualquier $n$ .