Tenemos una función: $ f: R \rightarrow R$ , $f(x) = x^3 - 9$. Deje $x^* $ ser su raíz, que significa $ f(x^*) = 0$. Queremos encontrar aproximación para $x^*$ utilizando un método de Newton. Hay dos preguntas que no sé cómo contestar: 1. Elegimos una estimación inicial: $x_0 = 2,5$. Hace lineary convergen para tal $x_0$? Y cuadráticamente? Y, más que todo, estoy interesada en cómo encontrar el rango de $x_0 $ para que este método converge. Cómo hacerlo? Y 2: podemos demostrar que $|x_3 - x^*| < 2^{-15}$? Hay un posiibility hacerlo sin computing $x_3$, que no es fácil, sin una calculadora?
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Bryan Roth
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Yo no soy un experto en el Método de Newton, pero he pasado algún tiempo pensando en que el año pasado, mientras que la enseñanza de honores curso de cálculo. Como yo lo entiendo, la filosofía básica detrás de la convergencia del método de Newton es:
1) a Pesar de que uno puede encontrar contraejemplos a la convergencia por "causar problemas", bajo razonablemente suave hipótesis se puede demostrar que no es $\delta > 0$ que si $x_0 \in [c-\delta,c+\delta]$, entonces la secuencia de iteración de Newton converge a la raíz verdadera $c$ "cuadráticamente". Uno puede, sin duda, un valor explícito de $\delta$: ver más abajo.
2) Por otro lado, si uno empieza con un $x_0$ que es "demasiado lejos" de $c$, entonces la cuestión de si el método de Newton iteración converge a $c$ puede ser arbitrariamente complicado y delicado. (Como en cierto sentido se debe: por ejemplo, tal vez hay otras raíces!) Por ejemplo, si usted mira a $z \mapsto z^3-1$ (en el plano complejo, que no es nuestro programa de instalación), se obtiene fractal de las cuencas de convergencia.
Aquí es un resultado de mi honra cálculo de las notas que le da un valor explícito de $\delta$. $\newcommand{\ra}{\rightarrow}$ $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\renewcommand{\R}{\mathbb{R}}$
Teorema Deje $f: I \ra \R$ dos veces diferenciable, y deje $x^* \in I^{\circ}$ ser un raíz de $f$.
a) Supongamos que hay números reales $\delta ,A ,B > 0$ tal que para todo $x \in [x^*-\delta,x^*+\delta]$, $|f'(x)| \geq A$ y $|f''(x)| \leq B$. Para cualquier $x_0 \in [x^*-\delta,x^*+\delta]$, vamos a $\{x_n\}$ ser el Método de Newton de la secuencia con valor inicial $x_0$. A continuación, para todos los $n \in \N$, $$ |x_{n+1} - x^*| \leq \frac{B}{A} |x_n - x^*|^2. $$ b) Si $f''$ es continua en a$I$$f'(x^*) \neq 0$, entonces no son, de hecho, $\delta,A,B > 0$ como en la declaración de de la parte a), por lo que la desigualdad se cumple para todos los $x_0 \in [x^*-\delta,x^*+\delta]$.
Usted puede tratar de calcular un $\delta$ esta en tu situación y comprobar si el $\delta$ que se obtiene es lo suficientemente pequeño como para que $|3^{\frac{2}{3}}-2| \leq \delta$: no he probado a mí mismo.
user30856
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Como sabemos que el Método de Newton es un algoritmo que resuelva $g(x) = 0$. Dada una situación inicial de $x_0$, se calcula una secuencia de puntos definidos a través de \begin{equation} x_{n+1} = x_{n} - \dfrac {g(x_n)}{g'(x_n)} \end{equation} Su primera pregunta es para qué valores de aproximación inicial $x_0$ ¿el método de newton converge cuadráticamente?Aquí está el resultado de la convergencia del método de Newton que le gustaría leer.
Deje $g$ dos veces continuamente diferenciable en el intervalo (a, b) . Deje $r$ ser la raíz de $g$. Si $r\in (a,b)$ tal que $g(r) = 0$$g'(r)\neq 0$, entonces no existe $\delta > 0$ de manera tal que el Método de Newton se reunirán si se inicia en el intervalo [- r$\delta$, r+$\delta$]. En este caso, la secuencia converge cuadráticamente.
Caso cuando el método de Newton no pudo converge cuadráticamente: Considere el $g(x) = x^2$. Ahora la pregunta es si el Método de Newton converge cuadráticamente a la raíz $x = 0$? La respuesta es no: Esto sucedió porque hubo un múltiplo de la raíz a las $x = 0$. Tenga en cuenta que En el Método de Newton si la raíz buscada tiene multiplicidad mayor que uno, la velocidad de convergencia es meramente lineal (reducción de errores por un factor constante en cada paso), a menos que medidas especiales adoptadas (que le gustaría leer Esto).
Si usted cree que su función tiene un "simple" de la raíz (es decir,$g(r) = 0$$g^{'}(r) \neq 0$), y tiene una razonable suposición de arranque, $x_0$, entonces el Método de Newton es el método de elección. En la práctica, no vamos a saber si tenemos una raíz simple, y no puede tener una muy buena base de estimación - En ese caso, usted puede utilizar Interseccion método para empezar, a continuación, cambiar al Método de Newton una vez que estás cerca.
