Integral de cero a cero

Question

Parece obvio que esta integral es cero y también lo es el límite, pero ¿qué teorema estamos usando aquí?

Veo que está conectado a sumas de Riemann con un intervalo=cero ¿Verdad?

La función $\mathrm{f}$ es continua.

$$\lim_{x \to 0}\int_0^x\mathrm{f}(x)\ \mathrm{d}x= \ ?$$

Answer 1

Suponiendo que $f$ es Riemann integrable, está acotada por algún $B$, por lo que $0 \le |\int_0^x f(x) dx | \le \int_0^x |f(x)| dx \le Bx$.

Answer 2

No estamos utilizando ningún teorema. La definición de la integral definida es $$ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x. $$ donde $x_i = a + i\Delta x$ y $\Delta x = \frac{b - a}{n}$. Si $a=b=0$, entonces $\Delta x = 0$ y por lo tanto la integral es cero: $$ \int_0^0 f(x)\; dx = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n 0 = \lim_{n\to \infty} 0 = 0. $$

Acerca del límite. Supongamos que $f$ es continua en un pequeño intervalo $[0, \epsilon]$. Entonces, de acuerdo al Teorema Fundamental del Cálculo, la función dada por $$ F(x) = \int_0^x f(t) \; dt $$ es continua en $[0,\epsilon]$. En particular, $F$ es continua en $0. Esto, por definición, significa que $\lim_{x\to 0^+} F(x) = 0$, o que $$ \lim_{x\to 0^+} \int_0^x f(t) \; dt = 0. $$

Answer 3

Otro enfoque válido cuando $f$ es continuo: la integral es una función $F$ tal que $F′=f$ y $F(0)=0$. Por continuidad, $\lim F=F(0)=0$.