Evaluar

Question

Evaluar: $$I=\int\limits_{0}^{\frac\pi2}\ln\frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x}dx$ $

Answer 1

Primer uso $\displaystyle \ln a^m=m\ln a$ y $\displaystyle \ln\frac ab=\ln a -\ln b $

Luego utilizar $$I=\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\ \ \ \ (1)$ $

para que % $ $$2I=\int_a^b\{f(x)+ f(a+b-x)\}dx$

para encontrar algo realmente interesante

Otra vez, si $\displaystyle g(x)=\cos x\cdot\ln(1+\sin x)$ qué es $g\left(\frac\pi2+0-x\right)?$

Así que usando $(1),I$ debe reducirse a $\displaystyle\int_0^1\ln(1+u)du$