Puede todo polinomio se factoriza hasta cuadrática factores?

Question

Sé que no se puede factorizar un polinomio real en $\Pi_{i=1}^N(x-a_i)$ en general. Pero, ¿es posible factor de cada una de las finito polinomio en esta forma:

$(\Pi_{i=1}^N a_ix^2 + b_ix + c_i) (\Pi_{i=1}^Mx-d_i)$ donde el segundo término es posiblemente vacía?

Esto es al menos cierto para polinomios con impar poderes, debido a que debe tener al menos una raíz real. (Mi razonamiento era falso, editar véase más abajo) Así que me pregunto si también es cierto incluso para los poderes?

Edit: Berci ha señalado un lapso en mi razonamiento. Por un extraño poder, una vez que el factor de la primera raíz, es concebible que usted puede golpear un grado del polinomio es irreducible.

Answer 1

La respuesta es sí, aquí es una prueba de dibujo.

1) Vamos a $P(x)$ ser un polinomio con coeficientes reales. Por el teorema fundamental del álgebra tiene una raíz, se $a$.

2) Si $a\in \mathbb R$ $(X-a)$ divide $P(x)$.

3) Si $a\notin \mathbb R$ a continuación, ya que los coeficientes son reales, se deduce que el $\bar a$ también es una raíz de $P(x)$.

4) Se deduce que $(x-a)(x-\bar a)$ divide $P(x)$.

5) Verificar directamente que $(x-a)(x-\bar a)$ es un polinomio con coeficientes reales.

6) Repita los pasos anteriores tantas veces como sea necesario para obtener el $P(x)$ como el producto de factores lineales y cuadráticos factores, todos ellos con coeficientes en $\mathbb R$.

Answer 2

Sí, esto es cierto. Es equivalente al teorema fundamental del álgebra, que dice que las $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ es algebraicamente cerrado.

Si $p \in \mathbb{R}[x]$ es un monic polinomio, entonces es un producto de factores lineales $x-a$$a \in \mathbb{C}$. El complejo de la conjugación de hojas de $p$ invariante, por lo tanto actúa sobre estas raíces $a$. Si deja a $a$ invariante, esto significa $a \in \mathbb{R}$ y mantenemos $x-a$. Si no, se expanda $(x-a)(x-\overline{a})=x^2-(a + \overline{a})x + a\overline{a} \in \mathbb{R}[x]$.

Por ejemplo, $p=x^3+3x^2+x+3$ tiene raíces $i,-i,-3$, por lo que factores como $(x^2+1)(x+3)$.

Answer 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem

$\left(x-a-bi\right)\left(x-a+bi\right)=x^2-2ax+a^2+b$

Por lo tanto, si el polinomio con coeficientes reales tiene ningún complejo de raíz, que se ha cuadrática "polinomio factor". Si no tiene ningún tipo de complejo de raíz, entonces también se ha dicho "factor" (o es el polinomio de primer grado). Factor de salir y repetir.

P. S. http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra (a partir de ello se deduce si al menos uno de los complejos de raíz de $x_0$, de dividir el polinomio por $x-x_0$, y repetir hasta que todo polinomio se ha ido - en otras palabras, cada polinomio de grado $n$ $n$ (complejo o real) de las raíces).