Problema del determinante cuando $A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$

Question

Tengo dos $4\times 4$ matrices reales $A$ y $B$ y se sabe que $A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$ ( $A$ , $B$ y $A+B$ son invertibles). ¿Cómo puedo demostrar que $\det (A)=\det (B)$ ?

Answer 1

Si se multiplican ambos lados de $A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$ por $A+B$ a la izquierda, entonces tenemos
$$AB^{-1} + BA^{-1}= -I$$
Ahora pon $AB^{-1}=C$ entonces
$$C^{-1} =-(C+I)$$ Y multiplicar ambos lados por $C$
$$C+I=-C^2$$
Por lo tanto, $$C^{-1}=C^2$$ $$(\det(C))^3=1$$ $$\det(C)=1$$ Así, $\det(A)=\det(B)$ .