Tengo un kilogramo de un elemento que tiene una vida media larga - decir, 1 año y me lo puso en un recipiente. Ahora cada día después de que puedo añadir otro kilogramo del elemento en el contenedor.
¿El decaimiento exponencial, finalmente, "dominar" o la cantidad de la sustancia en el contenedor de aumentar sin límite?
Sé que esto debe ser una respuesta simple, pero ha sido mucho tiempo desde la universidad...
Mirando este con ninguna de las ecuaciones, un simple experimento. Si, de hecho, creció sin límites, en algún momento, usted tiene más de 800kg. Y con un 1 año de vida media, se reducirá hasta los 400 kg un año más tarde. Ahora bien, durante ese año, sólo ha añadido 365kg, y ha estado allí un promedio de 6 meses, por lo .707 permanece (la raíz cuadrada de "medio"), por ejemplo 30% ido o cerca de 250 restantes. Ahora tenemos a solo 650 kg.
Las otras respuestas muestran claramente números precisos, pero cuando leí tu pregunta, parecía adecuado para una simple vuelta de enfoque en la envolvente para simplemente probar el negativo.
Supongamos que en una determinada fase tenemos una cantidad $M$ de la sustancia en el contenedor. A continuación, después de $1$ día, la cantidad que queda es $M(1/2)^{1/365}$, por lo que la cantidad que ha muerto es $M(1-(1/2)^{1/365})$. Si $M$ es lo suficientemente grande, la cantidad que ha muerto en $1$ día es mayor que $1$ kilogramo. Por lo que el agregado $1$ kilogramo no puede compensar la cantidad que ha muerto.
De ello se deduce que la cantidad de la sustancia en el contenedor no puede ser nunca mayor que $M$. Para ser explícitos, la cantidad no puede ser nunca mayor que $\dfrac{1}{1-(1/2)^{1/365}}$.
Vamos a este modelo como una secuencia recursiva $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ donde $X_n$ es el número de kilogramos de este elemento en las contiene en el $n$th día. Ya que la vida media del elemento es $1$ interanual, después de un solo día, una proporción de $$\sqrt[365]{\frac{1}{2}}\approx 0.998$$ de la sustancia que se inició con la voluntad de permanecer. Ya que también vamos a añadir $1$ kilogramo después de cada día, la cantidad de la elment en el $n+1$st será el día de $$X_{n+1} = \sqrt[365]{\frac{1}{2}}X_n + 1$$ $$= \sqrt[365]{\frac{1}{2}}\left(\sqrt[365]{\frac{1}{2}}X_{n-1} + 1\right) + 1 = \frac{1}{2^{2/365}}X_{n-1} + \frac{1}{2^{1/365}} + 1$$ $$\vdots$$ $$= \frac{1}{2^{(n+1)/365}} + \frac{1}{2^{n/365}} + \cdots + \frac{1}{2^{1/365}} + 1$$ Este es un geométrica suma, que podemos expresar como $$X_{n+1} = \frac{1-2^{-(n+2)/365}}{1-2^{1/365}}.$$ Así, sustituyendo $n$$n+1$, $$X_n = \frac{1-2^{-(n+1)/365}}{1-2^{1/365}}.$$ Tomando el límite cuando $n$ se hace muy grande, nos encontramos con $$\lim_{n\to \infty} X_n = \frac{1}{1-2^{1/365}} \approx 527,$$ así que, después de que el proceso se prolonga durante un tiempo muy largo, la cantidad de material radioactivo que tiene que ser delimitada, nunca crecer para ser mucho más grande de lo $527$ (es decir, el decaimiento exponencial de las ganancias sobre el crecimiento aritmético).
En el primer día, tiene 1 kilogramo de decayium. En el segundo día, que 1 kilogramo se desintegra en $1/\sqrt[365]{2}$ kilogramos de decayium, en el tercer día ha $1/(\sqrt[365]{2})^2$ kilogramos de la original... Y así sucesivamente, hasta que después de un año ha pasado, que finalmente ha $1/(\sqrt[365]{2})^{365} = 1/2$ kilogramos forma original. Parece de fiar hasta aquí.
Pero día a día, eres la adición de 1 kilogramo a lo que ya existe, por lo que tiene varias copias de esta secuencia de todos los que se ejecutan en paralelo. Así, en el segundo día, hay $1 + 1/\sqrt[365]{2}$ kilogramos, en el tercer día, $1 + 1/\sqrt[365]{2} + 1/(\sqrt[365]{2})^2$, ... y en el $n$th día, usted tendrá $$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{(\sqrt[365]{2})^i}$$ kilogramos de decayium.
Esta es una progresión geométrica, que sabemos que tiene una suma de $\frac{1 - 1/(\sqrt[365]{2})^n}{1 - 1/\sqrt[365]{2}}$. Como $n$ se hace más grande y más grande (tiende a infinito), esto en realidad converge: enfoques $\frac{1}{1 - 1/\sqrt[365]{2}} = 527$ (aproximadamente). Por lo que se convierte en un sistema estable de tipos, lo que significa que vas a seguir acercando a 527 kilos, no importa cuánto tiempo usted continúe con la adición de material.
En lugar de buscar en toda la secuencia, se puede ver en la diferencia de la ecuación. Supongamos $m(t)$ es la masa que después de $t$ días. Poner $\Delta(m)(t)=m(t+1)-m(t)$. Lo que están pidiendo es, esencialmente, lo que es (aproximado) del límite de una solución para el problema de valor inicial $$ \begin{cases} \Delta(m)=-(1-(\frac{1}{2})^{1/365})m+1\\ m(0)=1 \end{casos} $$ Considerar la diferencia de la ecuación de $\Delta(m)=-(1-(\frac{1}{2})^{1/365})m+1$. Esto es igual a cero, precisamente, al $m$ es igual a la de equilibrio de masa $m_e=1/(1-(\frac{1}{2})^{1/365})\approx 527.083$, y además, siempre que $m<m_e$ tenemos $\Delta(m)>0$, mientras que cuando $m>m_e$ tenemos $\Delta(m)<0$. Por otra parte, si $m$ está muy cerca de a $m_e$, el valor absoluto $\lvert \Delta(m)\rvert$ es muy pequeña (para una vez que estamos cerca de $m_e$ no podemos saltar demasiado lejos), mientras que es relativamente grande, mientras que estamos lejos (por lo que no puede de repente lento hacia abajo lejos de $m_e$, de modo que será , finalmente, conseguir cerrar).
Esto nos dice que, independientemente del valor inicial $m(0)$, las masas, en días consecutivos, o bien a) más y más a $m_e$ o de manera indefinida, b) más y más y con el tiempo va a ir más allá de $m_e$, e inmediatamente empiezas a ir de nuevo, tal vez overshooting $m_e$ nuevo, posiblemente repitiendo el patrón de forma indefinida, y, posiblemente, sólo un par de veces.
Si se va a añadir la nueva misa continuamente frente a cada día, que siempre terminan en el caso a) lugar, y posiblemente, puede descartar b) mediante el análisis de los números con más cuidado. De cualquier manera, no importa dónde empezar (es decir, incluso si usted comienza con una enorme cantidad de cosas, o de alguna manera se tiene que en los negativos, para empezar), eventualmente acercarse a $m_e$ y estar cerca.
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