Cómo encontrar $a_{n}$ si la secuencia $a_{n}=2a_{n-1}+(2n-1)^2a_{n-2},n\ge 1$

Question

Pregunta:

dejar que la secuencia $\{a_{n}\}$ ,tal $a_{-1}=1,a_{0}=1$

y $$a_{n}=2a_{n-1}+(2n-1)^2a_{n-2},n\ge 1$$

Encuentre el $a_{n}$

Encuentro $$a_{0}=1,a_{1}=3,a_{2}=15,a_{3}=105$$ y encontré $$a_{0}=1$$ $$a_{1}=1\cdot 3$$ $$a_{2}=1\cdot 3\cdot 5$$ $$a_{3}=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$ así que supongo que $$a_{n}=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)$$ y es fácil utilizar la inducción matemática para demostrarlo.

Ahora mi pregunta: ¿puede alguien tener otros métodos?

por que quiero ver otros metodos,porque creo que este problema es interesante.y esta forma de secuencia no parece fea,por lo que creo que este problema tiene sin inducion matematica.

Answer 1

Tomando $$ g_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} $$ Esto nos da $$ g_{n-1}(g_n-2)=(2n+1)^2$$ Esto da, $g_n = 2n+3$ Ahora , $$\frac{a_{n+1}}{a_{-1}} = g_{-1}g_1g_2\cdots g_n $$ $$ a_n = g_{n-1} \cdot g_{n-2} \cdots \cdot g_{-1} $$ $$ a_n = (2n+1)!! \Box $$

Answer 2

A partir de $$ a_n=2a_{n-1}+(2n-1)^2a_{n-2}\tag{1} $$ Dejemos que $a_n=2^nb_n$ entonces tenemos $$ \begin{align} b_n&=b_{n-1}+(n-\tfrac12)^2b_{n-2}\tag{2a}\\ b_{n-1}&=b_{n-2}+(n-\tfrac32)^2b_{n-3}\tag{2b}\\ b_n-b_{n-1}&=(n-\tfrac12)^2b_{n-2}\tag{2c}\\ (n-\tfrac12)b_{n-1}&=(n-\tfrac12)b_{n-2}+(n-\tfrac12)(n-\tfrac32)^2b_{n-3}\tag{2d}\\ b_n-(n+\tfrac12)b_{n-1}&=(n-\tfrac12)(n-\tfrac32)b_{n-2}-(n-\tfrac12)(n-\tfrac32)^2b_{n-3}\tag{2e}\\ &=(n-\tfrac12)(n-\tfrac32)\left[b_{n-2}-(n-\tfrac32)b_{n-3}\right]\tag{2f} \end{align} $$ Explicación:
$\mathrm{(2a)}$ : $a_n=2^nb_n$ aplicado a $(1)$
$\mathrm{(2b)}$ : sustituto $n\mapsto n-1$ en $\mathrm{(2a)}$
$\mathrm{(2c)}$ : restar $b_{n-1}$ de $\mathrm{(2b)}$
$\mathrm{(2d)}$ : multiplicar $\mathrm{(2b)}$ por $(n-\frac12)$
$\mathrm{(2e)}$ : restar $\mathrm{(2d)}$ de $\mathrm{(2c)}$
$\mathrm{(2f)}$ factor a la derecha de $\mathrm{(2e)}$

Observando que $b_0-\frac12b_{-1}=1-\frac12\cdot2=0$ y $b_1-\frac32b_0=\frac32-\frac32\cdot1=0$ , ecuación $\mathrm{(2f)}$ garantiza que $b_n=(n+\frac12)b_{n-1}$ para $n\ge0$ lo que equivale a $$ a_n=(2n+1)a_{n-1}\tag{3} $$ Desde $a_{-1}=1$ , $(3)$ implica $$ a_n=(2n+1)!!\tag{4} $$

Answer 3

De sus resultados se desprende que $a_n=(2n+1)!!$ (que es la secuencia A001147 en la OEIS) y que verifica la relación de recurrencia.

Otra forma de escribirlo es $$a_n= \frac{2^{n+1} \left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\sqrt{\pi }}$$

Por el momento, no he encontrado ninguna función generadora excepto

$$\sum_{i=0}^\infty \frac{x^n}{a_n}={\sqrt{\frac{\pi }{2x}} e^{x/2} \text{erf}\left({\sqrt{\frac{x}{2}}}\right)}$$

En la OEIS, dan $$a_n=\int_0^\infty \frac{e^{-x/2} x^{n}}{\sqrt{2 \pi x}}dx$$

Answer 4

$$ a_{n}=2a_{n-1}+(2n-1)^2a_{n-2}. $$

Dejemos que $b_n=a_n/a_{n-1}$ . Entonces $\{b_n\}$ satisface

$$ b_{n}=2+(2n-1)^2/b_{n-1}, \quad b_1=3. $$

Dejemos que $c_n=b_n/(2n+1)$ entonces $\{c_n\}$ satisface

$$ (2n+1)c_{n}=2+\frac{2n-1}{c_{n-1}},\quad c_1=1, $$ que sólo se satisface con la secuencia $c_n=1$ , $n\in\mathbb N$ .