Para los que p la serie converge?

Question

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\right)^{p}$$

Por favor, compruebe la respuesta a continuación

Answer 1

Prueba de comparación

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n!}{(n+1)!}\right)^{p}=\frac{1}{(n+1)^{p}}=\begin{cases} 1 & \Leftrightarrow p=0\\ 0 & \Leftrightarrow p\neq0 \end{casos}$$

La serie tiene el mismo convergencia $\frac{1}{n}$, por lo que para:

1. $p>1$ convergen
2. para $p<1$ no converge

Answer 2

La serie diverge para $p\le0$, ya que los términos no se acercan a $0$. Para$p>0$, $n$- ésima raíz de la $n$-ésimo término es $$ (n!)^{-p/n} = e^{-p(\log n + O(1))} \sim Cn^{p}, $$ que se aproxima a cero. Por lo tanto converge por la raíz de la prueba para todos los $p>0$.