Lo que se sabe acerca de los vectores propios de matrices aleatorias?

Question

Deje $A$ ser un verdadero asimétrica $n \times n$ matriz con me.yo.d. al azar, el valor cero elementos. Qué resultados, si las hay, para los vectores propios de a $A$? En particular:

• Cómo son los elementos de los vectores propios distribuidos?
• Si $u_i$ $u_j$ son vectores propios de a$A$, ¿cuál es la distribución de $|u_i^*u_j|$?
• Numéricamente, he encontrado que a cada vector propio correspondiente a un complejo autovalor tiene un único elemento real. (Naturalmente, real de los autovalores correspondientes real vectores propios.) Esto ha sido demostrado?
• ¿Cuál es el número esperado de real de los autovalores de a $A$?

(Nota: estoy muy interesado en la construcción de matrices aleatorias $A = VDV^{-1}$ donde $D$ es una matriz diagonal de valores propios procedentes de una distribución que difiere de la dada por los distintos circular leyes, y $V$ es la matriz de vectores propios extraídos de la distribución de los vectores propios de matrices aleatorias. Así que esta pregunta se puede resumir: ¿cómo puedo dibujar $V$?)

Answer 1

Hay algunos resultados en este dominio: para una clase general de yo.yo.d. simétrica matrices (como Wigner matrices), se puede demostrar que con probabilidad uno, las matrices habría simple autovalores (es decir,$\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n$). Como resultado se sigue inmediatamente que $u_i^*u_j=0$$i\not=j$. De hecho, es bastante sencillo para mostrar que para las clases de matrices de la distribución de los vectores propios va a ser la medida de Haar en el conjunto ortogonal de matrices.