Es un hecho habitual que si $M$ es un no-singular $n\times n$ matriz entera, el índice de la $\mathbb{Z}$ -de sus columnas como un grupo abeliano en $\mathbb{Z}^n$ es $|\det M|$ . ¿Qué ocurre si sustituimos $\mathbb{Z}$ por el anillo de enteros en algún campo numérico? Más concretamente:
Dejemos que $K$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}$ con el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ . Sea $M$ ser un $n\times n$ matriz no singular con entradas en $\mathcal{O}_K$ y que $\Lambda$ sea el sub- $\mathcal{O}_K$ -módulo de $\mathcal{O}_K^n$ atravesado por las columnas de $M$ . ¿Qué podemos decir sobre el índice de $\Lambda$ como un grupo abeliano dentro de $\mathcal{O}_K^n$ ? ¿Es así? $|\det M|$ ? Si es así, ¿cuál es la prueba? (Y si no, ¿qué está pasando realmente?)
EDITAR: La pregunta es ingenua en cierto modo. A priori, $\det M$ es un elemento de $\mathcal{O}_K$ Así que $|\det M|$ no se define sin especificar un lugar arquimédico concreto de $K$ . Si hay varios, entonces $|\det M|$ dependerá de una elección arbitraria mientras que $[\mathcal{O}_K^n:\Lambda]$ no lo hará. Así que esto me lleva a esperar que en general, la respuesta es no . Por otro lado, ¿qué pasaría si, por ejemplo, $\det M \in \mathbb{Z}$ y/o $M$ ¿es unitario?
2ª EDICIÓN: A propósito del comentario de Mariano, quizá la respuesta correcta sea en realidad $|N_{K/\mathbb{Q}}(\det M)|$ al menos para los campos numéricos de la clase número $1$ y tal vez más en general?
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La prueba de este hecho sobre el índice se hace utilizando la Forma Normal de Smith de las matrices sobre los enteros, que a su vez depende del hecho de que los enteros son un dominio ideal principal. Por lo tanto, la prueba habitual se romperá para la mayoría de los campos numéricos.
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@MarianoSuárez-Alvarez - ¿pero funcionará sobre campos de clase número 1?
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Para $1$ -por- $1$ matrices $[\alpha]$ la respuesta es $\mathbf N(\alpha)$ . Esta zona está lejos de mi carne, pero el problema me parece de naturaleza local. ¿No se puede hacer en un $\mathfrak P|p$ de $K$ y combinar todos los resultados no unitarios?
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@Ben, creo que sí, sustituyendo el valor absoluto por la norma de campo. Sobre tal campo hay una SNF, por lo que podemos suponer que la matriz es diagonal, y entonces el resultado se sigue de la multiplicatividad del cardinal en las sumas directas y de la observación de Lubin para matrices de 1 por 1.
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@Lubin - eso me parece la idea correcta - no creo que el resultado deba depender de cuestiones de número de clase. Sin embargo, me faltan un par de pasos. Supongo que la idea es que uno captura la $p$ -valoración de $[R^n:MR^n]$ (Dejando $R=\mathcal{O}_K$ y observando que $\Lambda = MR^n$ ) tomando una $\mathfrak{P}\mid p$ y luego tomar el $p$ -valoración de $[R_\mathfrak{P}^n:MR_\mathfrak{P}^n]$ y luego combinando sobre todo $p$ para los que la valoración es positiva. (Ya que $R_\mathfrak{P}$ es un PID, el argumento SNF de Mariano se aplica para cada $\mathfrak{P}$ .) Tengo 2 preguntas para terminar esto:
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(1) ¿Es cierto que para $R_\mathfrak{P}$ el $p$ -valoración de $[R_\mathfrak{P}:\alpha R_\mathfrak{P}]$ viene dada por la de $\mathbf{N}(\alpha)$ ? (Ciertamente no hay esperanza de que estos números coincidan más allá de su $p$ -valoraciones). ¿Cuál es el argumento? y (2) ... hmmm pensé que tenía otra pregunta pero supongo que (1) era realmente la única incertidumbre que quedaba.
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¿Conoces el teorema de la teoría algebraica de los números de que el índice de $Ra$ en $R$ es $|\mathbf N(a)|\,$ ? Y entonces, localmente, uno define ordinariamente $v_{\mathfrak P}(a)$ exactamente para ser $v_p(\mathbf N(a))$ . En este último caso, estoy pensando en la situación completa, donde uno entonces muestra que este $v_{\mathfrak P}$ es una valoración por un argumento de Hensel's-Lemma.
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Según el último comentario de Lubin, es posible que la norma del determinante siempre dé el índice (porque lo hace para matrices de 1x1). Tengo un vago recuerdo de haber hecho este ejercicio para campos cuadráticos imaginarios, pero se está haciendo tarde aquí, así que recordarlo con más precisión tendrá que esperar. De todos modos, el asunto de los números de clase es, en mi opinión, más bien el hecho de que si $h>1$ no tendrás todo el $\mathcal{O}_K$ submódulos de $\mathcal{O}_K^n$ como tramos de columnas de alguna matriz cuadrada. De nuevo, el caso de las matrices de 1x1 ya lo demuestra.
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(cont.) Ni siquiera los submódulos que contienen $n$ vectores linealmente independientes.
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@Lubin - Gracias, sí conozco ese teorema. Lo que no tenía claro es la relación de $N(a)$ a $[R_\mathfrak{P}:a R_\mathfrak{P}]$ . ¿Cómo se puede demostrar que el $p$ -valoración de $[R_\mathfrak{P}:aR_\mathfrak{P}]$ está relacionada con la norma de $a$ de esta manera? ¿Es su punto de vista que el $p$ -valoración de $[R_\mathfrak{P}:aR_\mathfrak{P}]$ es el mismo que el $\mathfrak{P}$ -valoración de $a$ ? (Desde $aR_\mathfrak{P} = \pi^{v_\mathfrak{P}}R_\mathfrak{P}$ para $\pi$ un uniformizador para el DVR $R_\mathfrak{P}$ ?)
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Sí, supongo que ese era mi punto.
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Relacionado (sobre su hecho estándar) : math.stackexchange.com/questions/317065/ . Funciona directamente si $O_K$ es un PID.