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¿El determinante te da el índice sobre $\mathcal{O}_k$ así como sobre $\mathbb{Z}$ ?

Es un hecho habitual que si $M$ es un no-singular $n\times n$ matriz entera, el índice de la $\mathbb{Z}$ -de sus columnas como un grupo abeliano en $\mathbb{Z}^n$ es $|\det M|$ . ¿Qué ocurre si sustituimos $\mathbb{Z}$ por el anillo de enteros en algún campo numérico? Más concretamente:

Dejemos que $K$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}$ con el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ . Sea $M$ ser un $n\times n$ matriz no singular con entradas en $\mathcal{O}_K$ y que $\Lambda$ sea el sub- $\mathcal{O}_K$ -módulo de $\mathcal{O}_K^n$ atravesado por las columnas de $M$ . ¿Qué podemos decir sobre el índice de $\Lambda$ como un grupo abeliano dentro de $\mathcal{O}_K^n$ ? ¿Es así? $|\det M|$ ? Si es así, ¿cuál es la prueba? (Y si no, ¿qué está pasando realmente?)

EDITAR: La pregunta es ingenua en cierto modo. A priori, $\det M$ es un elemento de $\mathcal{O}_K$ Así que $|\det M|$ no se define sin especificar un lugar arquimédico concreto de $K$ . Si hay varios, entonces $|\det M|$ dependerá de una elección arbitraria mientras que $[\mathcal{O}_K^n:\Lambda]$ no lo hará. Así que esto me lleva a esperar que en general, la respuesta es no . Por otro lado, ¿qué pasaría si, por ejemplo, $\det M \in \mathbb{Z}$ y/o $M$ ¿es unitario?

2ª EDICIÓN: A propósito del comentario de Mariano, quizá la respuesta correcta sea en realidad $|N_{K/\mathbb{Q}}(\det M)|$ al menos para los campos numéricos de la clase número $1$ y tal vez más en general?

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La prueba de este hecho sobre el índice se hace utilizando la Forma Normal de Smith de las matrices sobre los enteros, que a su vez depende del hecho de que los enteros son un dominio ideal principal. Por lo tanto, la prueba habitual se romperá para la mayoría de los campos numéricos.

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@MarianoSuárez-Alvarez - ¿pero funcionará sobre campos de clase número 1?

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Para $1$ -por- $1$ matrices $[\alpha]$ la respuesta es $\mathbf N(\alpha)$ . Esta zona está lejos de mi carne, pero el problema me parece de naturaleza local. ¿No se puede hacer en un $\mathfrak P|p$ de $K$ y combinar todos los resultados no unitarios?

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Bryan Roth Puntos 3592

Creo que las proposiciones 1.10 y 1.16 de este papel mío dar (una generalización de) lo que se busca. Es posible que haya que acostumbrarse a la notación. De hecho, todos los ingredientes clave de la discusión anterior aparecen en este contexto algo abstracto... y constituyen la prueba.

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