¿Es el ideal generado por el elemento irreducible en el dominio ideal principal maximal?

Question

Posible duplicado:
Demostrar que un ideal en un EPI es maximal si y sólo si es generado por un irreducible

Estoy tratando de ver si el ideal generado por el elemento irreducible en un dominio ideal principal (PID) es ideal máximo.

Supongamos que r es irreducible en un PID digamos D

Dejemos que I sea un ideal de D que contiene ( r ) el ideal generado por r

Desde D es un dominio ideal principal, existe s en D tal que I \=( s ), por lo tanto ( r ) es un subconjunto de ( s ).

Así que, r \= st para algunos t en D pero r es irreducible, esto implica que s o t es una unidad.

Si s es una unidad, entonces I \= ( s )= D .

Si t es una unidad entonces ( r )= I \=( s ). Pero no estoy seguro de que esto sea cierto, porque no tengo razones para decir ( r )= I \=( s ), por lo que puedo concluir y decir ( r ) es máxima.

Necesito un poco de ayuda para esto. Gracias

Answer 1

De hecho, podemos generalizar un poco.

Propuesta: Si $R$ es un dominio integral y $x\in R\setminus \{0\}$ entonces $x$ es irreducible si y sólo si $xR$ es máxima entre todos los ideales propios principales de $R$ (es decir, si $I=yR \subsetneq R$ y $xR\subseteq yR$ entonces $xR=yR$ ).

Prueba: ( $\Rightarrow$ ) Supongamos $x$ es irreducible y elige $y\in R$ con $xR\subseteq yR\subsetneq R$ . Entonces, para algunos $r\in R$ , $x=yr$ . Desde $x$ es irreducible, o bien $y\in U(R)$ o $r\in U(R)$ . Sin embargo, el hecho de que $yR\neq R$ implica que $y\notin U(R)$ Por lo tanto $r\in U(R)$ , $y=r^{-1}x$ y se deduce fácilmente que $xR=yR$ . Por lo tanto, $xR$ es máxima entre los ideales principales propios de $R$ .

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que $xR$ es máxima entre todos los ideales propios principales de $R$ y suponer que $x=yz$ para las no unidades no nulas $y,z\in R$ . Entonces, como ninguno de los dos $y$ ni $z$ son unidades, está claro que $xR=yzR\subsetneq yR\subsetneq R$ . Esto contradice la maximalidad de $xR$ entre los ideales principales propios de $R$ . Por lo tanto, $x$ es irreducible. $\blacksquare$

Ahora bien, si $R$ es un PID, entonces la proposición anterior implica que para todos los irreducibles $x\in R$ , $xR$ es un ideal máximo.

Answer 2

En un PID, dividir es contener: $b \mid a$ si $(a)\subseteq(b)$ . Así, $(a)$ es máxima si $a$ no tiene divisores no triviales si $a$ es irreducible.

Answer 3

HINT $\ $ Para los ideales principales: contiene $\iff$ divide. Por lo tanto, no tener ningún ideal propio que contenga (máximo) es equivalente a no tener ningún divisor propio (irreducible).

De forma más general, en los dominios donde los ideales satisfacen contiene $\iff$ divide (por ejemplo, los dominios Dedekind), ideales primos $\ne 0$ son máximos. Esto caracteriza a los PID, es decir, los PID son precisamente los UFD en los que cada ideal primo $\ne 0$ es máxima (es decir, la dimensión de Krull $\le 1$ ).

Answer 4

Un elemento es irreducible si el ideal que genera es máximo entre los ideales principales.

Si todos los ideales son principales, entonces un elemento es irreducible si el ideal que genera es máximo.