Cómo mejorar mi prueba de que $\{n \in\mathbb{Z}|\exists k \in \mathbb{Z}|n=4k+1\}= \{n \in \mathbb{Z}|\exists j \in \mathbb{Z}|n=4j-7\}$?

Question

Yo no soy infiel a mi tarea. Esto ya fue entregada, y se la entregó de nuevo con un grado. No estoy seguro de si mi profesor es un severo grado, o si realmente estoy haciendo tan mal como ella lo hace. Pensé que pocas personas aquí podría ser capaz de ayudarme a conseguir este un poco más sólido, ya que estoy en una pérdida en cuanto a qué hacer.

$A = \{n \in \mathbb{Z}|\exists k \in \mathbb{Z}|n=4k+1\}$

$B = \{n \in \mathbb{Z}|\exists j \in \mathbb{Z}|n=4j-7\}$

Demostrar $A=B$

Prueba: en primer lugar, mostrar que $A \subseteq B$. Deje $n \in A$ y muestran que $n \in B$. Desde $n \in A$ $n=4k+1$ fijos $k$ implica que $n=4j-7$ a un desconocido $j$. Nos pusimos las dos ecuaciones iguales entre ellas y resolver para $j$.

$$4j-7=4k+1$$ $$4j=4k+8$$ $$j=k+2$$

Por lo tanto, cualquier $n \in A$ debe ser en $B$. A continuación mostramos que $B \subseteq A$. Deje $n \in B$ y muestran que $n \in A$. Desde $n \in B$ $n=4j-7$ fijos $j$ implica que $n=4k+1$ a un desconocido $k$. Nos pusimos las dos ecuaciones iguales y resolver para $k$.

$$4k+1=4j-7$$ $$4k=4j-8$$ $$k=j-2$$

Por lo tanto, cualquier $n \in B$ debe ser en $A$.

Por lo tanto $A \subseteq B$ $B \subseteq A$ lo que demuestra que $A=B$ como se requiere.

Answer 1

El problema es que su prueba es una especie de atrás. Usted asume la $4j-7=4k+1$ y luego resuelve $j$. Esta es una forma válida de encontrar el $j$ debe elegir, pero en las pruebas, suponiendo que la ecuación, está suponiendo implícitamente que el $A \subseteq B$ en lugar de la prueba. Por lo tanto, usted necesita para comenzar con $j=k+2$ y, a continuación, muestran que el valor de $j$ conduce a $4j-7=4k+1$.

Esto puede parecer extraño, porque estás trabajando básicamente en el orden inverso de cómo se resuelve el problema, pero a menudo, cómo originalmente a resolver su problema y lo que su prueba es ir en orden inverso porque resolvemos los problemas asumiendo y manipulación de ecuaciones con el fin de llegar a algo que es obviamente cierto mientras resolvemos las pruebas, comenzando con aquellos que, obviamente, declaraciones verdaderas y, a continuación, mostrando esas ecuaciones son verdaderas.

Para hacer esto más claro, he aquí una rápida re-escritura de la prueba:

Primero mostramos que la $A \subseteq B$. Deje $n \in A$, de modo que $n=4k+1$ para algunos entero $k$. A continuación, elija $j=k+2$, de modo que $j$ es también un número entero. Al multiplicar esta ecuación por $4$ y restando por $7$, vemos a $4j-7=4k+1$. Esto significa $n=4j-7$ para algunos entero $j$, lo que implica que $n \in B$.

A continuación mostramos que $B \subseteq A$. Deje $n \in B$, de modo que $n=4j-7$ para algunos entero $j$. A continuación, elija $k=j-2$, de modo que $k$ es también un número entero. Al multiplicar esta ecuación por $4$ y añadiendo por $1$, vemos a $4k+1=4j-7$. Esto significa $n=4k+1$ para algunos entero $k$, lo que implica que $n \in A$.

Por lo tanto $A \subseteq B$ $B \subseteq A$ lo que demuestra que $A=B$ como se requiere.

Answer 2

$A=\{4k+1, \forall k \in \mathbb{Z}\} =\{4(k+2)-7, \forall k \in \mathbb{Z}\} =\{4j-7, \forall j \in \mathbb{Z}\} =B$.

Answer 3

Así, tenemos que $1\equiv -7\mod4$. Así, las clases de equivalencia (a través de la equivalencia de la relación de $a$ relacionado a $b$ si $a-b$ es un múltiplo de a $4$, que es, precisamente,$a\equiv b \mod 4$) en que $1$$-7$, son los mismos.